【luogu 3951】【NOIP2017 提高组D1T1】 小凯的疑惑【数学】

题目描述
小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有 无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小 凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在 小凯无法准确支付的商品。

---

输入格式
两个正整数 a 和 b，它们之间用一个空格隔开，表示小凯中金币的面值。

输出格式
一个正整数 N，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。

---

输入输出样例
输入 #1
3 7
输出 #1
11

---

说明/提示
【输入输出样例 1 说明】
小凯手中有面值为$3$和$$7$的金币无数个，在不找零的前提下无法准确支付价值为$1,2,4,5,8,11$ 的物品，其中最贵的物品价值为 $11$，比$11$ 贵的物品都能买到，比如：

$12=3\times 4+7\times 0$

$13=3\times 2+7\times 1$

$14=3\times 0+7\times 2$

$15=3\times 5+7\times 0$

【数据范围与约定】

对于 $30$%的数据：$1\le a,b\le 50$。

对于 $60$%的数据：$1\le a,b\le 10^4$。

对于$100$%的数据：$1\le a,b\le 10^9$。

---

解题思路
法一：

• 有两种金额的金币：$a,b$
  不妨设 $a<b$，令答案为 $x$：
  即 $x=ma+nb(1\le m\le b-1)$
  显然当 $n\ge 0$时 x 可以用 $a,b$表示出来，不合题意。
  因此当 $n=-1$ 时$x$ 取得最大值，此时 $x=ma-b$。
  显然当 $m$取得最大值 $b-1$ 时 $x$ 最大，此时$x=(b-1)a-b=ab-a-b$
  因此 $a,b$ 所表示不出的最大的数是 $ab-a-b$

法二：

• 第一种思路：

1. $a\ast b$ 一定可以被表示出来，表示为$a$个$b$或$b$个$a$。因为$a,b$互质，没有其他表示出a*b的方法。
2. 因为$a,b$互质，$a\ast b-a$ 不能被b表示出来，但可以被$a$表示出来；$b\ast a-b$不能被a表示出来，但可以被$b$表示出来。
3. 因为$a,b$互质，一个数如果不能被b表示出来，减去b以后还是不能被b表示出来；一个数如果不能被a表示出来，减去$a$以后还是不能被$a$表示出来；所以$a\ast b$减去$a$再减去b即可使两者都不能被表示出来。

• 第二种思路

1. 假设这个k它真的可以被表示为$m\ast a+n\ast b$(玄学的思路）
2. 在有关$a,b$的条件不变的情况下，那m和n一定不是普通数。不然如何凑出一个原本凑不出来的数？原题中$m,n$为正整数，为打破这一规则，不妨设$n$为负整数。此时为了k最大，$n=-1$。
3. 代入$n=-1，k=m\ast a-b$。由第一种思路的第二条，$b\ast a-b$能被b表示出来，为了让它不能被表示出来，又要m最大，所以$m=b-1$。
4. 代入$m=b-1$，原式的最大值就等于：$a\ast b-a-b$。

---

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
long long a,b;
int main(){
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	printf("%lld",a*b-a-b);
	//(好感动，居然只有两行代码（^-^）~~
}