P3597-[POI2015]WYC【矩阵乘法,倍增】

前言

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正题

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3597

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题目大意

问第$k$长的路径长度(非简单路径)

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解题思路

先考虑$k$比较小时的情况，我们可以求出长度为$1$的路径，长度为$2$的路径，然后以此类推找到第一个与前面的和到$k$就可以得出答案。

但是这样并不能通过本题，我们考虑$倍增+矩阵乘法$。

首先因为边权只有$1,2,3$所以我们可以拆点，$(k-1)\ast x$表示$x$出发的边上已经走了$k$步。

首先$(k\ast i)->(k\ast i+k)$，若一条边$x{-}_w>y$那么$(w-1)\ast x->y$就可以了，这样$(i,j)$就是$i$到$j$的路径条数

用矩阵$G_k$中的$(i,j)$表示$i$到$j$的路径长度$\le 2^k$的有多少条，且$(i,0)$表示以$i$为终点的长度$\le 2^k$有多少条。

那么有$G_k=G_{k-1}\ast G_{k-1}$

然后若答案为$ans$，那么有
$\sum 2^{x_i}=ans$且$Gover=\prod G_{x_i}$的话，那么有
$$\sum _{i=1}^n(Gover(i,0)-1)\le k$$
(减$1$是因为有一种路径就是一直待在原地，但这不会被计算入答案)

那么我们肯定要求$ans$尽量大，那么我们从大开始枚举一个$k$。

若乘上$G_k$后满足条件就可以乘

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$code$

#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const ll Size=125;
struct matrix{
	ll a[Size][Size];
}G[70],ove;
ll n,m,ans,k;
matrix operator *(matrix &a, matrix &b) {
	matrix c;memset(c.a,0,sizeof(c.a));
	for(ll i=0;i<Size;i++)
	  for(ll j=0;j<Size;j++)
	    for(ll k=0;k<Size;k++)
	      c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
	return c;
}
bool check(matrix a){
	ll sum=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	  if(k<=(sum+=a.a[i][0]-1)) return 1;
	return 0;
} 
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
	G[0].a[0][0]=1;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	  ove.a[i][i]=G[0].a[i][i+n]=G[0].a[i+n][i+2*n]=G[0].a[i][0]=1;
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll x,y,w;
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&w);
		G[0].a[x+(w-1)*n][y]++;
	}
	ll tot=0;matrix tmp;
	while(++tot){
		if(tot>65)
		  return puts("-1")&0;
		G[tot]=G[tot-1]*G[tot-1];
		if(check(G[tot])) break;
	}
	while((--tot)>=0){
		tmp=ove*G[tot];
		if(!check(tmp))
		  ans+=(1ll<<tot),ove=tmp;
	}
	printf("%lld",ans);
}