【日常学习】【数学】【矩阵乘法】【大数乘方取模】codevs1982 加密算法题解

题目描述 Description

Rivest是密码学专家。近日他正在研究一种数列E={E[1],E[2],……,E[n]}，
且E[1]=E[2]=p（p为一个质数），E[i]=E[i-2]*E[i-1] （若2 例如{2,2,4,8,32,256,8192,……}就是p=2的数列。在此基础上他又设计了一种加密
算法，该算法可以通过一个密钥q (q 算公式为：d=E[n] mod q。现在Rivest想对一组数据进行加密，但他对程序设计不太
感兴趣，请你帮助他设计一个数据加密程序。

输入描述 Input Description

读入m，p。其中m表示数据个数，p用来生成数列E。
以下有m行，每行有2个整数n，q。n为待加密数据，q为密钥。
规模：0

输出描述 Output Description

将加密后的数据按顺序输出到文件a.out。
第i行输出第i个加密后的数据。

样例输入 Sample Input

2 7
4 5
4 6

样例输出 Sample Output

3
1

这道题目不需要用高精 是的这道题目坑死人

首先应该发现 根据同底数幂相加原则 我们要求的E[i]是底数p的fibonacci数fib[i]次方

这个数可能会很大

这时候就需要用到矩阵乘法加速状态转移求快速幂 因为矩阵乘法符合结合律 可以用倍增快速幂解决

但如果不边乘边取模 数据规模在十几时就会爆掉一万位

矩阵乘法完全可以取模 只有加和乘 这个不用担心

可是还是会爆，还会T

这时候要知道一个降幂公式：

所以要求欧拉函数 t14t41t神犇提供了一种更快的暴力欧拉方法

这个降幂公式不要和逆元弄混 b在mod p意义下的逆元是b的phi(p)-1次方 特别地 如果p是质数 逆元是b^(phi(p)-2) 因为这时候phi(p)==p-1 除自身外所有小于等于他的数都与他互质

所以这题就这么出来了

我第一次写矩乘 没用高精实在是万幸

这个代码基本是模了奥神的 姑且作为参考

//encrypt
//第一次写矩乘+欧拉+快速幂+取模 加油啊~Cheer up!
#include
#include
#include
#include
#include 

typedef long long ll;

using namespace std;

ll m,p,n,q;
int mo;

struct mat
{
	ll num[2][2];
	
	mat(){memset(num,0,sizeof(num));}
	
	inline void prepare()
	{
		num[0][0]=0;
		num[1][0]=num[0][1]=num[1][1]=1;
	} 
	
	inline mat operator * (const mat &b) const
	{
		mat c=mat();
		for (int i=0;i<2;i++)
		{
			for (int j=0;j<2;j++)
			{
				for (int k=0;k<2;k++)
				{
					c.num[i][j]=(c.num[i][j]%mo+(num[i][k]%mo*(b.num[k][j]%mo))%mo)%mo;
				}
			}
		}
		return c;
	}
	
	inline mat operator ^ (int b) const
	{
		mat c=mat();
		if (b<=0)
		{
			c.num[1][1]=1;
			return c;
		}
		--b;
		mat t=*this;
		c=*this;
		while (b)
		{
			if (b&1) c=c*t;
			t=t*t;
			b>>=1;
		}
		return c;
	}
}ma;

inline ll read()
{
	char ch=getchar();
	ll a=0;
	while (ch<'0'||ch>'9')
	{
		ch=getchar();
	}
	while (ch>='0'&&ch<='9')
	{
		a=a*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return a;
}

inline int phi(int x)
{
	int ret=x;
	for (int i=2;i*i<=x;++i)
	{
		if (x%i==0)
		{
			ret=ret/i*(i-1);
			while (x%i==0) x/=i;
		}
	}
	if (x>1) ret=ret/x*(x-1);
	return ret;
}

ll mi(ll a,ll b,ll c)
{
	ll ans=1;
	while (b)
	{
		if (b&1) ans=(ans*a)%c;
		a=(a*a)%c;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	freopen("1.txt","r",stdin);
	ll ans;
	m=read();//数据组数 
	p=read();//底数
	while (m--)
	{
		ans=0;
		n=read();
		q=read();
		mo=phi(q);
		ma.prepare();
		ma=ma^(n-2);
		ans=(ma.num[1][0]+ma.num[1][1])%mo;
		ans+=mo;
		printf("%lld\n",mi(p,ans,q));
	} 
	return 0;
}
 

——借问梅花何处落，风吹一夜满天山