分治与动态规划（3种背包问题）

动态规划、分治法和贪心法都是利用求解子问题，而后利用子问题求解更上层问题，最终获得全局解决方案的方法。但是三者的应用场景和性质却存在着极大的不同：
#1. 分治法
分治法的精髓：

分–将问题分解为规模更小的子问题；
治–将这些规模更小的子问题逐个击破；
合–将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解；

很容易将分治法与动态规划相混淆，但两者却有着本质上的差异。分治法采用的是递归的思想来求解问题，两个分解的子问题独立求解，其之间无任何的重叠。而上一层问题只需要对两个子问题进行一定的合并即可得到答案。即s(t)＝ s(sub1)+s(sub2)，而s(sub1)和s（sub2）之间无任何重叠。
##1.1 使用分治法求数组中的最大值
函数将数组a[1],……,a[r]分成两部分，分别求出每部分的最大元素（递归地），并返回较大的那一个作为整个数组的最大元素。

int a[];
...

int max(int l,int r) {
	if (l==r) return a[l];//如果只有一个元素，就返回它
	
	int m=(l+r)/2;
	int u = max(l,m);
	int v = max(m+1,r);
	
	return (u>v) ? u : v;
}

2. 动态规划

该种方法较为复杂，但十分有用和高效，其核心性质是当前问题的答案s(t)并不能单独由s(t-1)求得，还有可能需要使用到s(1)...s(t-1)。具体需要使用到那些，是由问题本身的性质所决定的（常常是一个约束，或变相的约束）。
动态规划分解后的子问题相互间有联系，有重叠的部分。

2.1 01背包问题

01背包问题：
一个背包总共可以装下重量为W的东西，现在有N个物品，第i个物品的重量为weight[i]，其价值为value[i]，现在往背包里面装东西，希望能够使得背包装下的物品的总价值最大。
DP要求先找出子问题，我们可以这样考虑：在物品比较少，背包容量比较小时怎么解决？用一个数组dp[i][j]表示，在只有i个物品，容量为j的情况下背包问题的最优解，那么当物品种类变大为i+1时，最优解是什么？第i+1个物品可以选择放进背包或者不放进背包（这也就是0和1），假设放进背包（前提是放得下），那么dp[i+1][j]=dp[i][j-weight[i+1]]+value[i+1]；如果不放进背包，那么f[i+1][j]=f[i][j]。
这就得出了状态转移方程：
f[i+1][j]=max(f[i][j],f[i][j-weight[i+1]+value[i+1])。
完整代码：

#define V 1500
int dp[10][V];//全局变量，自动初始化为0
int weight[10];
int value[10];
#define  max(x,y)	(x)>(y)?(x):(y)
int main() {
	int N,M;
	cin>>N;//物品个数
	cin>>M;//背包容量
	for (int i=1;i<=N; i++) {
		cin>>weight[i]>>value[i];
	}
	for (int i=1; i<=N; i++) 
		for (int j=1; j<=M; j++) {
			if (weight[i]<=j) 
				dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
			else
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
		}
	
	cout<

可以将dp[i][j]这个二维数组优化成一维数组。
另外，还有多重背包和完全背包问题，可以见链接。

优化，以及01背包和完全背包问题的区别

有趣的是，当我们将二维数组优化成一维数组时，01背包和完全背包问题的解法几乎完全一样，只有一句需要改变。
01背包的解：

int main() {
	int n,m;
	while(cin>>n>>m) {
		vector weight(n+1,0);//物品的重量
		vector value(n+1,0);//物品的价值
		vector dp(m+1,0);//一维数组，存放用n个产品装容量为i的背包的解
		for(int i=0;i>weight[i+1]>>value[i+1];//输入

		for(int i=1;i<=n;i++)
			//这里是逆序
			//用j>=weight[i]作为判断条件，省略了一个if语句
			for(int j=m;j>=weight[i];j--) {
					dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
					
		cout<

这里，只用到了一维数组，但是通过采用逆序的方法，使得效果是相同的。

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然后是完全背包问题的解，只需要将上面的逆序改为顺序：

for(int i=1;i<=n;i++)
		//这里变成了顺序
		//这里设j从weight[i]开始，省略了一个if语句
		for(int j=weight[i];j<=m;j++)
				dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);