线性方程组和矩阵

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线性方程组

齐次和非齐次

设有 n n n个未知数的 m m m个线性方程组
(A) { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 , ⋯ ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m , \left\{\begin{aligned} &a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ &a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ &\cdots\cdots\\ &a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m,\\ \end{aligned} \right.\tag{A} a11x1+a12x2++a1nxn=b1,a21x1+a22x2++a2nxn=b2,am1x1+am2x2++amnxn=bm,(A)
其中 a i j a_{ij} aij是第 i i i个方程的第 j j j个未知数的系数, b i b_i bi是第 i i i个方程的常数项, i = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n i=1,2,,m;j=1,2,,n
当常数项 b 1 , b 2 , … , b m b_1,b_2,\dots,b_m b1,b2,,bm不全为零的时候。线性方程组 ( A ) (A) (A)叫做 n n n元非齐次线性方程组。
当常数项 b 1 , b 2 , … , b m b_1,b_2,\dots,b_m b1,b2,,bm全为零的时候。
(B) { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = 0 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = 0 , ⋯ ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = 0 , \left\{\begin{aligned} &a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0,\\ &a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0,\\ &\cdots\cdots\\ &a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0,\\ \end{aligned} \right.\tag{B} a11x1+a12x2++a1nxn=0,a21x1+a22x2++a2nxn=0,am1x1+am2x2++amnxn=0,(B)
线性方程组 ( A ) (A) (A)叫做 n n n元齐次线性方程组。

平凡解和非平凡解

对于n元齐次线性方程组 ( B ) (\mathbf{B}) (B) x 1 = x 2 = ⋯ = x n = 0 x_1=x_2=\cdots=x_n=0 x1=x2==xn=0一定是它的解,这个解叫做其次线性方程组 ( B ) (\mathbf{B}) (B)零解(也叫平凡解——大家都有没什么稀奇的)。
如果一组不为零的数是 ( B ) (\mathbf{B}) (B)的解,则它叫做齐次线性方程组 ( B ) (B) (B)非零解
其次线性方程组 ( B ) (\mathbf{B}) (B)一定有零解,但是不一定有非零解。
m < n m<n m<n则,此时 m × n m\times n m×n的齐次线性方程组有非零解非平凡解
##方程组相容与不相容
如果线性方程组无解,则称该线性方程组是不相容的( i n c o n s i s t e n t inconsistent inconsistent)
如果线性方程组至少存在一个,这称该方程组是相容的( c o n s i s t e n t consistent consistent)

等价方程组

定义

若两个含有相同变量的方程组具有相同的解集,则称它们是等价的 e q u i v a l e n t equivalent equivalent

得到等价方程组的方法

  • 交换任意两个方程的顺序交换
  • 任一方程两边同乘一个非零的实数数乘
  • 任一方程的倍数加到另一个方程上倍加

线性方程组的矩阵形式:

A m × n x n × 1 = b m × 1 \mathbf{A}_{m\times n}\mathbf{x}_{n\times 1}=\mathbf{b}_{m\times 1} Am×nxn×1=bm×1

b = 0 \mathbf{b}=\mathbf{0} b=0时得到 m m m个方程的 n n n元齐次线性方程组的矩阵形式
A m × n x n × 1 = 0 m × 1 \mathbf{A}_{m\times n}\mathbf{x}_{n\times 1}=\mathbf{0}_{m\times 1} Am×nxn×1=0m×1

其中:
A = ( a i j ) \mathbf{A}=(a_{ij}) A=(aij) b i b_i bi系数矩阵
x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) T \mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T x=(x1,x2,,xn)T未知数矩阵
b = ( b 1 , b 2 , … , b m ) T \mathbf{b}=(b_1,b_2,\dots,b_m)^T b=(b1,b2,,bm)T常数项矩阵
B = ( A , b ) = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b m ) \mathbf{B}=\left(\color{green}{\mathbf{A}},\color{pink}{\mathbf{b}}\right)=\begin{pmatrix} \color{green}{a_{11}} & \color{green}{a_{12} }&\color{green} \cdots & \color{green}{a_{1n} }&\color{pink}{b_1}\\ \color{green}{a_{21}} & \color{green}{a_{22}} &\color{green}\cdots & \color{green}{a_{2n}}&\color{pink}{b_2} \\ \color{green} \vdots &\color{green}\vdots &\color{green} \ddots & \vdots&\color{pink}\vdots\\ \color{green} {a_{m1}} & \color{green}{a_{m2}} & \color{green}\cdots & \color{green}{a_{mn}}&\color{pink}{b_m} \\ \end{pmatrix} B=(A,b)=a11a21am1a12a22am2a1na2namnb1b2bm
称为增广矩阵

严格三角矩阵

若方程组中,第 k k k个方程的前 k − 1 k-1 k1个变量的系数均为零,且 x k ( k = 1 , … , n ) x_k(k=1,\dots,n) xk(k=1,,n)的系数不为零,则称该方程组为严格三角形的(strict triangular form)

关于增广矩阵

增广矩阵每一行第一个非零元对应的变量称为首变量(lead variables)
化简过程中跳过的列对应的变量称为自由变量(free variables)

线性方程组的超定和亚定

超定:

若一个线性方程组的 m > n m>n m>n方程的个数多于未知量的个数,则称其为超定 o v e r d e t e r m i n e d overdetermined overdetermined)超定方程组通常是(但不总是)不相容的
###亚定:
若一个线性方程组的 m < n m<n m<n方程的个数少于未知量的个数,则称其为亚定 u n d e r d e t e r m i n e d underdetermined underdetermined)亚定方程组通常(但不总是)相容的,而且有无穷多解
亚定方程组不可能唯有一解,这是因为系数矩阵的行阶梯型均有 r ≤ m r\leq m rm个非零行。因此,必有 r r r首变量 n − r n-r nr自由变量,其中 n − r ≥ n − m > 0 n-r\geq n-m >0 nrnm>0,因此若方程相容,则可以给自由变量任意赋值,并且同时求得首变量的值,此时一个亚定的方程组会有无穷多解。

向量线性组合

定义:若 a 1 , a 2 , … , a n \mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\dots,\mathbf{a_n} a1,a2,,an R m \mathbf{R}^m Rm中的向量,且 c 1 , c 2 , … , c n c_1,c_2,\dots,c_n c1,c2,,cn为标量,则和式
c 1 a 1 + c 2 a 2 + ⋯ + c n a n c_1\mathbf{a_1}+c_2\mathbf{a_2}+\cdots+c_n\mathbf{a_n} c1a1+c2a2++cnan
称为向量 a 1 , a 2 , … , a n \mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\dots,\mathbf{a_n} a1,a2,,an的一个线性组合(linear combination)

线性方程组的相容定理

一个线性方程组 A x = b \color{red}{\mathbf{A}}\color{blue}{\mathbf{x}}=\color{lightgreen}{\mathbf{b}} Ax=b相容的充要条件是向量 b \color{lightgreen}{\mathbf{b}} b可以写成矩阵 A \color{red}{\mathbf{A}} A列向量的一个线性组合

线性方程组的解

定理

n n n元线性方程组 A x = b A\mathbf{x}=\mathbf{b} Ax=b
( i ) (i) (i)无解的充分必要条件是 R ( A ) < R ( A , b ) R(A)<R(A,\mathbf{b}) R(A)<R(A,b)
( i i ) (ii) (ii)有唯一解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) = n R(A)=R(A,\mathbf{b})=n R(A)=R(A,b)=n
( i i i ) (iii) (iii)有无穷多解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) < n R(A)=R(A,\mathbf{b})<n R(A)=R(A,b)<n

定理
n n n元齐次线性方程组 A x = 0 A\mathbf{x}=0 Ax=0有非零解的充分必要条件是 R ( A ) < n R(A)<n R(A)<n

定理
线性方程组 A x = b A\mathbf{x}=\mathbf{b} Ax=b有解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) R(A)=R(A,\mathbf{b}) R(A)=R(A,b)

定理
矩阵方程 A m × n X n × l = B m × l A_{m\times n}X_{n\times l}=B_{m\times l} Am×nXn×l=Bm×l有解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , B ) R(A)=R(A,B) R(A)=R(A,B)

定理
A B = C AB=C AB=C,则 R ( C ) ≤ min ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } R(C)\leq\min\{R(A),R(B)\} R(C)min{R(A),R(B)}

矩阵

矩阵的定义

m × n m\times n m×n个数 a i j ( i = 1 , 2 , ⋯   , m ; j = 1 , 2 , ⋯   , n ) a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n) aij(i=1,2,,m;j=1,2,,n)排成 m m m n n n列的数表
a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{matrix} a11a21am1a12a22am2a1na2namn
此时称其为 m m m n n n列的矩阵,简称 m × n m\times n m×n矩阵,为了表示它是一个整体,总是加一个括号,并且使用大写字母表示它。
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) \mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} A=a11a21am1a12a22am2a1na2namn

矩阵的几种表示形式:

a i j a_{ij} aij作为 ( i , j ) (i,j) (i,j)元的矩阵可以简记为 ( a i j ) (a_{ij}) (aij)或者 ( a i j ) m × n (a_{ij})_{m\times n} (aij)m×n
m × n m\times n m×n的矩阵 A \mathbf{A} A也可以记作 A m × n \mathbf{A}_{m\times n} Am×n

几种特殊矩阵

行向量( 1 × n 1\times n 1×n

只有一行的矩阵
A = ( a 1 , a 2 , … , a n ) \mathbf{A}=(a_1,a_2,\dots,a_n) A=(a1,a2,,an)
称为行矩阵,或者行向量

列向量( m × 1 m\times 1 m×1

只有一列的矩阵
B = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) \mathbf{B}=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \\ \end{pmatrix} B=b1b2bm
称为列矩阵,又称列向量

方阵

如果矩阵的行数和列数都为 n n n则称矩阵 A \mathbf{A} A为** n n n阶方阵**,或者** n n n阶矩阵**

同型矩阵

如果两个矩阵的行数和列数相同,则称他们是同型矩阵
###矩阵相等
如果两个矩阵 A = ( a i j ) \mathbf{A}=(a_{ij}) A=(aij) B = ( b i j ) \mathbf{B}=(b_{ij}) B=(bij)是同型矩阵,并且他们的对应元素相等
即: a i j = b i j ( i = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n ) a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n) aij=bij(i=1,2,,m;j=1,2,,n)
则称矩阵 A A A和矩阵 B B B相等

零矩阵

如果矩阵的元素都为零则称矩阵为零矩阵,记作 O O O,不同型的零矩阵是不同的。

三角和对角矩阵(方阵)

三角

一个 n × n n\times n n×n的矩阵 A \mathbf{A} A
i > j i>j i>j则称其是上三角形的矩阵
i < j i<j i<j则称其是下三角形的矩阵
当矩阵 A A A上三角形矩阵或者下三角形的矩阵则称 A A A三角形矩阵

对角

一个 n × n n\times n n×n的矩阵 A \mathbf{A} A
i ≠ j i\neq j i̸=j时, a i j = 0 a_{ij}=0 aij=0则称其是对角矩阵

单位矩阵(方阵)

正如数字 1 1 1是实数乘法中的单位元一样,也存在一个特殊矩阵 I I I是矩阵乘法中的单位元,即:
I A = A I = A \mathbf{IA}=\mathbf{AI}=\mathbf{A} IA=AI=A
对任意的 n × n n\times n n×n矩阵 A \mathbf{A} A都成立。

定义

n × n n\times n n×n单位矩阵(identity matrix)为矩阵 I = ( δ i j ) \mathbf{I}=(\delta_{ij}) I=(δij),其中
δ i j = { 1 当 i = j 0 当 i ≠ j \delta_{ij}=\left\{\begin{aligned} &1&\text{当}i=j\\ &0&\text{当}i\neq j\\ \end{aligned}\right. δij={10i=ji̸=j

逆矩阵(方阵)

定义

若存在一个矩阵 B \mathbf{B} B使得 B A = A B = I \mathbf{BA}=\mathbf{AB}=\mathbf{I} BA=AB=I,则称矩阵 A \mathbf{A} A非奇异的(nonsingular)或者可逆的(invertible)(大概是因为 n × n n\times n n×n的矩阵行列式大多数都不为零)
此时矩阵 B \mathbf{B} B称为矩阵 A \mathbf{A} A乘法逆元(multiplicative inverse)

逆元的唯一性

B \mathbf{B} B C \mathbf{C} C都是 A \mathbf{A} A的乘法逆元,则
B = B I = B ( A C ) = ( B A ) C = I C = C \mathbf{B}=\mathbf{BI}=\mathbf{B(AC)}=\mathbf{(BA)C}=\mathbf{IC}=\mathbf{C} B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C

初等矩阵(方阵

定义

从单位矩阵 I \mathbf{I} I开始,只进行一次初等行变化,得到的矩阵称为初等矩阵

三类初等矩阵

原先的矩阵
I = E 0 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) \mathbf{I}=\mathbf{E}_0=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} I=E0=100010001
交换
第一类初等矩阵由交换 I \mathbf{I} I的两行得到
E 1 = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) \mathbf{E}_1=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} E1=010100001
数乘
第二类初等矩阵由 I \mathbf{I} I的某一行乘以一个非零常数得到
E 2 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 3 ) \mathbf{E}_2=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&3\\ \end{pmatrix} E2=100010003
倍加
第一类初等矩阵由 I \mathbf{I} I的一行倍加到另一行得到
E 3 = ( 1 0 3 0 1 0 0 0 1 ) \mathbf{E}_3=\begin{pmatrix} 1&0&3\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} E3=100010301
一般的假设:
如果 A \mathbf{A} A是一个 m × n m\times n m×n的矩阵, A \mathbf{A} A左乘 E \mathbf{E} E等价于对 A \mathbf{A} A进行相应的行运算
如果 B \mathbf{B} B是一个 m × n m\times n m×n的矩阵, B \mathbf{B} B右乘 E \mathbf{E} E等价于对 B \mathbf{B} B进行相应的列运算
(i) A ∼ r B \mathbf A \mathop{\sim}\limits^{r} \mathbf B ArB ⇔ \Leftrightarrow 存在 m m m阶可逆矩阵 P P P使得 P A = B PA=B PA=B
(ii) A ∼ c B \mathbf A \mathop{\sim}\limits^{c}\mathbf B AcB ⇔ \Leftrightarrow 存在 n n n阶可逆矩阵 Q Q Q使得 A Q = B AQ=B AQ=B
(iii) A ∼ B \mathbf A\sim\mathbf B AB ⇔ \Leftrightarrow 存在 m m m阶可逆矩阵 P P P n n n阶可逆矩阵 Q Q Q使得 P A Q = B PAQ=B PAQ=B

相关概念

定理:
E \mathbf{E} E为一个初等矩阵,则 E \mathbf{E} E是非奇异的,则 E − 1 \mathbf{E}^{-1} E1为与它同类型的初等矩阵
定义:
若存在一个有限初等矩阵的序列 E 1 , E 1 , … , E k \mathbf{E}_1,\mathbf{E}_1,\dots,\mathbf{E}_k E1,E1,,Ek,使得
B = E k E k − 1 , ⋯   , E 1 A \mathbf{B}=\mathbf{E}_k\mathbf{E}_{k-1},\cdots,\mathbf{E}_1\mathbf{A} B=EkEk1,,E1A
则称 A \mathbf{A} A B \mathbf{B} B行等价

行阶梯型矩阵

非零矩阵 A A A满足:
(i)非零行在零行上面
(ii)非零行的首非零元所在列的上一行(如果存在的话)的首非零元所在列的右面,则称此矩阵为行阶梯形矩阵
进一步:
如果 A A A是行阶梯形矩阵,并且还满足:(i)非零行的首非零元为 1 1 1
(ii)非零行所在的列的其他元均为0,则称 A A A行最简形矩阵

矩阵的秩

定义:
m × n m\times n m×n矩阵 A A A中,任意取 k k k行和 k k k列( k ≤ m , k ≤ n k\leq m,k\leq n km,kn),位于这些行列式交叉处的 k 2 k^2 k2个元素,不改变他们在 A A A中所处的位置次序而得到的 k k k阶行列式,称为矩阵 A A A k k k阶子式

引理:
假设 A ∼ r B A\mathop{\sim}\limits^{r}B ArB A A A B B B非零子式最高阶数相等

定义:
假设在矩阵 A A A中有一个不等于 0 0 0 r r r阶子式 D D D,且所有 r + 1 r+1 r+1阶子式(如果存在的话)全等于 0 0 0,那么 D D D称为 A A A最高阶非零子式,数 r r r称为矩阵 A A A,记作 R ( A ) R(A) R(A),并且规定零矩阵的秩等于 0 0 0

对于方阵
可逆矩阵$\Leftrightarrow < f o n t c o l o r = " r e d " s i z e = " 5 " > 满 秩 矩 阵 < / f o n t > < f o n t c o l o r = " b l u e " s i z e = " 5 " > 不 可 逆 可 逆 矩 阵 ( 奇 异 矩 阵 ) < / f o n t > <font color="red" size="5">满秩矩阵</font> <font color="blue" size="5">不可逆可逆矩阵(奇异矩阵)</font> <fontcolor="red"size="5"></font><fontcolor="blue"size="5"></font>\Leftrightarrow $降秩矩阵
矩阵秩的基本性质
对于

1 : 0 ≤ R ( A m × n ) ≤ min ⁡ { m , n } 1:0\leq{R(A_{m\times n})\leq\min\{m,n\}} 1:0R(Am×n)min{m,n}
2 : R ( A n × m T ) = R ( A m × n ) 2:R(A^T_{n\times m})=R(A_{m\times n}) 2:R(An×mT)=R(Am×n)
3 : 若 A m × n ∼ B m × n , 则 R ( A m × n ) = R ( B m × n ) 3:若A_{m\times n}\sim B_{m\times n},则R(A_{m\times n})=R(B_{m\times n}) 3:Am×nBm×nR(Am×n)=R(Bm×n)
4 : 若 P m × m 、 Q n × n 可 逆 , 则 R ( P m × m A m × n Q n × n ) = R ( A m × n ) 4:若P_{m\times m}、Q_{n\times n}可逆,则R(P_{m\times m}A_{m\times n}Q_{n\times n})=R(A_{m\times n}) 4:Pm×mQn×n,R(Pm×mAm×nQn×n)=R(Am×n)
5 : max ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) 5:\max\{R(A),R(B)\}\leq R(A,B)\leq R(A)+R(B) 5:max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)+R(B)
6 : R ( A + B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) 6:R(A+B)\leq R(A)+R(B) 6:R(A+B)R(A)+R(B)
7 : R ( A B ) ≤ min ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } 7:R(AB)\leq \min\{R(A),R(B)\} 7:R(AB)min{R(A),R(B)}
8 : 若 A m × n B n × l , 则 R ( A ) + R ( B ) ≤ n 8:若A_{m\times n}B_{n\times l},则R(A)+R(B)\leq n 8:Am×nBn×lR(A)+R(B)n

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