线性方程组和矩阵

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线性方程组

齐次和非齐次

设有$n$个未知数的$m$个线性方程组
$$\{\begin{array}{rl}& a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ & a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ & \cdots \cdots \\ & a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m,\end{array}\text{\hspace{1em}(A)}$$
其中$a_{ij}$是第$i$个方程的第$j$个未知数的系数，$b_i$是第$i$个方程的常数项，$i=1,2,\dots ,m;j=1,2,\dots ,n$，
当常数项$b_1,b_2,\dots ,b_m$不全为零的时候。线性方程组$(A)$叫做$n$元非齐次线性方程组。
当常数项$b_1,b_2,\dots ,b_m$全为零的时候。
$$\{\begin{array}{rl}& a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0,\\ & a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0,\\ & \cdots \cdots \\ & a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0,\end{array}\text{\hspace{1em}(B)}$$
线性方程组$(A)$叫做$n$元齐次线性方程组。

平凡解和非平凡解

对于n元齐次线性方程组$(\mathbf{B})$，$x_1=x_2=\cdots =x_n=0$一定是它的解，这个解叫做其次线性方程组$(\mathbf{B})$的零解（也叫平凡解——大家都有没什么稀奇的）。
如果一组不为零的数是$(\mathbf{B})$的解，则它叫做齐次线性方程组$(B)$的非零解。
其次线性方程组$(\mathbf{B})$一定有零解，但是不一定有非零解。
若$m<n$则，此时$m\times n$的齐次线性方程组有非零解（非平凡解）
##方程组相容与不相容
如果线性方程组无解，则称该线性方程组是不相容的($inconsistent$)
如果线性方程组至少存在一个解，这称该方程组是相容的($consistent$)

等价方程组

定义

若两个含有相同变量的方程组具有相同的解集，则称它们是等价的（$equivalent$）

得到等价方程组的方法

• 交换任意两个方程的顺序（交换）
• 任一方程两边同乘一个非零的实数（数乘）
• 任一方程的倍数加到另一个方程上（倍加）

线性方程组的矩阵形式：

$${\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{x}}_{n\times 1}={\mathbf{b}}_{m\times 1}$$

当$\mathbf{b}=0$时得到$m$个方程的$n$元齐次线性方程组的矩阵形式
$${\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{x}}_{n\times 1}=0_{m\times 1}$$

其中：
$\mathbf{A}=(a_{ij})$为$b_i$系数矩阵，
$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$为未知数矩阵
$\mathbf{b}=(b_1,b_2,\dots ,b_m{)}^T$为常数项矩阵
$$\mathbf{B}=\left(\mathbf{A},\mathbf{b}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right)$$
称为增广矩阵

严格三角矩阵

若方程组中，第$k$个方程的前$k-1$个变量的系数均为零，且$x_k(k=1,\dots ,n)$的系数不为零，则称该方程组为严格三角形的(strict triangular form)

关于增广矩阵

增广矩阵的每一行第一个非零元对应的变量称为首变量(lead variables)
化简过程中跳过的列对应的变量称为自由变量(free variables)

线性方程组的超定和亚定

超定：

若一个线性方程组的（$m>n$）方程的个数多于未知量的个数，则称其为超定（$overdetermined$）超定方程组通常是（但不总是）不相容的。
###亚定：
若一个线性方程组的（$m<n$）方程的个数少于未知量的个数，则称其为亚定（$underdetermined$）亚定方程组通常（但不总是）相容的，而且有无穷多解
亚定方程组不可能唯有一解，这是因为系数矩阵的行阶梯型均有$r\le m$个非零行。因此，必有$r$个首变量和$n-r$个自由变量，其中$n-r\ge n-m>0$,因此若方程相容，则可以给自由变量任意赋值，并且同时求得首变量的值，此时一个亚定的方程组会有无穷多解。

向量线性组合

定义：若${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$为${\mathbf{R}}^m$中的向量，且$c_1,c_2,\dots ,c_n$为标量，则和式
$$c_1{\mathbf{a}}_1+c_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$$
称为向量${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$的一个线性组合（linear combination）

线性方程组的相容定理

一个线性方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$相容的充要条件是向量$\mathbf{b}$可以写成矩阵$\mathbf{A}$列向量的一个线性组合

线性方程组的解

定理

$n$元线性方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$
$(i)$无解的充分必要条件是$R(A)<R(A,\mathbf{b})$
$(ii)$有唯一解的充分必要条件是$R(A)=R(A,\mathbf{b})=n$
$(iii)$有无穷多解的充分必要条件是$R(A)=R(A,\mathbf{b})<n$

定理
$n$元齐次线性方程组$A\mathbf{x}=0$有非零解的充分必要条件是$R(A)<n$

定理
线性方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解的充分必要条件是$R(A)=R(A,\mathbf{b})$

定理
矩阵方程$A_{m\times n}{X}_{n\times l}=B_{m\times l}$有解的充分必要条件是$R(A)=R(A,B)$

定理
设$AB=C$，则$R(C)\le \min \{R(A),R(B)\}$

矩阵

矩阵的定义

由$m\times n$个数$a_{ij}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$排成$m$行$n$列的数表
$$\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}$$
此时称其为$m$行$n$列的矩阵，简称$m\times n$矩阵，为了表示它是一个整体，总是加一个括号，并且使用大写字母表示它。
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

矩阵的几种表示形式：

以$a_{ij}$作为$(i,j)$元的矩阵可以简记为$(a_{ij})$或者$(a_{ij}{)}_{m\times n}$
$m\times n$的矩阵$\mathbf{A}$也可以记作${\mathbf{A}}_{m\times n}$

几种特殊矩阵

行向量（$1\times n$）

只有一行的矩阵
$$\mathbf{A}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$$
称为行矩阵，或者行向量

列向量（$m\times 1$）

只有一列的矩阵
$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$$
称为列矩阵，又称列向量

方阵

如果矩阵的行数和列数都为$n$则称矩阵$\mathbf{A}$为**$n$阶方阵**，或者**$n$阶矩阵**

同型矩阵

如果两个矩阵的行数和列数相同，则称他们是同型矩阵
###矩阵相等
如果两个矩阵$\mathbf{A}=(a_{ij})$和$\mathbf{B}=(b_{ij})$是同型矩阵，并且他们的对应元素相等
即：$$a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\dots ,m;j=1,2,\dots ,n)$$
则称矩阵$A$和矩阵$B$相等

零矩阵

如果矩阵的元素都为零则称矩阵为零矩阵，记作$O$,不同型的零矩阵是不同的。

三角和对角矩阵(方阵)

三角

一个$n\times n$的矩阵$\mathbf{A}$
当$i>j$则称其是上三角形的矩阵
当$i<j$则称其是下三角形的矩阵
当矩阵$A$为上三角形矩阵或者下三角形的矩阵则称$A$为三角形矩阵

对角

一个$n\times n$的矩阵$\mathbf{A}$
当$i̸=j$时，$a_{ij}=0$则称其是对角矩阵

单位矩阵(方阵)

正如数字$1$是实数乘法中的单位元一样，也存在一个特殊矩阵$I$是矩阵乘法中的单位元，即：
$$\mathbf{I}\mathbf{A}=\mathbf{A}\mathbf{I}=\mathbf{A}$$
对任意的$n\times n$矩阵$\mathbf{A}$都成立。

定义

$n\times n$的单位矩阵（identity matrix）为矩阵$\mathbf{I}=({\delta }_{ij})$，其中
$${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{rlr}& 1& \text{当}i=j\\ & 0& \text{当}i̸=j\end{array}$$

逆矩阵(方阵)

定义

若存在一个矩阵$\mathbf{B}$使得$\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{I}$,则称矩阵$\mathbf{A}$为非奇异的(nonsingular)或者可逆的(invertible)(大概是因为$n\times n$的矩阵行列式大多数都不为零)
此时矩阵$\mathbf{B}$称为矩阵$\mathbf{A}$的乘法逆元(multiplicative inverse)

逆元的唯一性

若$\mathbf{B}$和$\mathbf{C}$都是$\mathbf{A}$的乘法逆元，则
$$\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{I}=\mathbf{B}(\mathbf{A}\mathbf{C})=(\mathbf{B}\mathbf{A})\mathbf{C}=\mathbf{I}\mathbf{C}=\mathbf{C}$$

初等矩阵（方阵）

定义

从单位矩阵$\mathbf{I}$开始，只进行一次初等行变化,得到的矩阵称为初等矩阵

三类初等矩阵

原先的矩阵
$$\mathbf{I}={\mathbf{E}}_0=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
交换
第一类初等矩阵由交换$\mathbf{I}$的两行得到
$${\mathbf{E}}_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
数乘
第二类初等矩阵由$\mathbf{I}$的某一行乘以一个非零常数得到
$${\mathbf{E}}_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$
倍加
第一类初等矩阵由$\mathbf{I}$的一行倍加到另一行得到
$${\mathbf{E}}_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
一般的假设:
如果$\mathbf{A}$是一个$m\times n$的矩阵，$\mathbf{A}$左乘$\mathbf{E}$等价于对$\mathbf{A}$进行相应的行运算。
如果$\mathbf{B}$是一个$m\times n$的矩阵，$\mathbf{B}$右乘$\mathbf{E}$等价于对$\mathbf{B}$进行相应的列运算。
(i)$\mathbf{A}\stackrel{r}{\sim }\mathbf{B}$$\iff$存在$m$阶可逆矩阵$P$使得$PA=B$
(ii)$\mathbf{A}\stackrel{c}{\sim }\mathbf{B}$$\iff$存在$n$阶可逆矩阵$Q$使得$AQ=B$
(iii)$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$$\iff$存在$m$阶可逆矩阵$P$，$n$阶可逆矩阵$Q$使得$PAQ=B$

相关概念

定理：
若$\mathbf{E}$为一个初等矩阵，则$\mathbf{E}$是非奇异的，则${\mathbf{E}}^{-1}$为与它同类型的初等矩阵
定义：
若存在一个有限初等矩阵的序列${\mathbf{E}}_1,{\mathbf{E}}_1,\dots ,{\mathbf{E}}_k$，使得
$$\mathbf{B}={\mathbf{E}}_k{\mathbf{E}}_{k-1},\cdots ,{\mathbf{E}}_1\mathbf{A}$$
则称$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$ 为行等价

行阶梯型矩阵

若非零矩阵$A$满足：
(i)非零行在零行上面
(ii)非零行的首非零元所在列的上一行(如果存在的话)的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵
进一步：
如果$A$是行阶梯形矩阵，并且还满足：(i)非零行的首非零元为$1$
(ii)非零行所在的列的其他元均为0，则称$A$为行最简形矩阵

矩阵的秩

定义：
在$m\times n$矩阵$A$中，任意取$k$行和$k$列($k\le m,k\le n$)，位于这些行列式交叉处的$k^2$个元素，不改变他们在$A$中所处的位置次序而得到的$k$阶行列式，称为矩阵$A$的$k$阶子式

引理：
假设$A\stackrel{r}{\sim }B$则$A$与$B$中非零子式的最高阶数相等

定义：
假设在矩阵$A$中有一个不等于$0$的$r$阶子式$D$，且所有$r+1$阶子式(如果存在的话)全等于$0$，那么$D$称为$A$的最高阶非零子式，数$r$称为矩阵$A$，记作$R(A)$，并且规定零矩阵的秩等于$0$

对于方阵
可逆矩阵$\Leftrightarrow $<fontcolor="red"size="5">满秩矩阵</font><fontcolor="blue"size="5">不可逆可逆矩阵（奇异矩阵）</font>$\Leftrightarrow $降秩矩阵
矩阵秩的基本性质
对于

$1:0\le R(A_{m\times n})\le \min \{m,n\}$
$2:R(A_{n\times m}^T)=R(A_{m\times n})$
$3:若A_{m\times n}\sim B_{m\times n}，则R(A_{m\times n})=R(B_{m\times n})$
$4:若P_{m\times m}、Q_{n\times n}可逆,则R(P_{m\times m}{A}_{m\times n}{Q}_{n\times n})=R(A_{m\times n})$
$5:\max \{R(A),R(B)\}\le R(A,B)\le R(A)+R(B)$
$6:R(A+B)\le R(A)+R(B)$
$7:R(AB)\le \min \{R(A),R(B)\}$
$8:若A_{m\times n}{B}_{n\times l}，则R(A)+R(B)\le n$