二分图的最佳匹配(KM 算法)

KM算法求最小权二分匹配，模板题，构图很简单，直接把人当作左边的点，房子当作右边的点，
两者之间的曼哈顿距离当作权值即可。第一次搞带权二分匹配的题，就是用KM算法求最小权的时候要加个处，由于KM求的是最大权，
所以在套模板之前把权值都取下相反值最后再把KM算法求出来的最大权值取反即可。


Kuhn－Munkras算法流程：
　　(1)初始化可行顶标的值
　　(2)用匈牙利算法寻找完备匹配
　　(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值
　　(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止


引用：
KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B [i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终 成立。KM算法的正确性基于以下定理： 
　　若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。 
　　这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。 
　　初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。 
　　我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现： 
两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。 
两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。 
X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。 
X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。 
　　现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。 
　　以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶 标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改 顶标后，要把所有的slack值都减去d。 


#include
#include
#include    // 使用其中的 min 函数
using namespace std;


const int MAX = 1024;


int n;                // X 的大小
int weight [MAX] [MAX];        // X 到 Y 的映射（权重）
int lx [MAX], ly [MAX];        // 标号
bool sx [MAX], sy [MAX];    // 是否被搜索过
int match [MAX];        // Y(i) 与 X(match [i]) 匹配


// 初始化权重
void init (int size);
// 从 X(u) 寻找增广道路，找到则返回 true
bool path (int u);
// 参数 maxsum 为 true ，返回最大权匹配，否则最小权匹配
int bestmatch (bool maxsum = true);


void init (int size)
{
    // 根据实际情况，添加代码以初始化
    n = size;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < n; j ++)
            scanf ("%d", &weight [i] [j]);
}




bool path (int u)
{
    sx [u] = true;
    for (int v = 0; v < n; v ++)
        if (!sy [v] && lx[u] + ly [v] == weight [u] [v])
            {
            sy [v] = true;
            if (match [v] == -1 || path (match [v]))
                {
                match [v] = u;
                return true;
                }
            }
    return false;
}


int bestmatch (bool maxsum)
{
    int i, j;
    if (!maxsum)
        {
        for (i = 0; i < n; i ++)
            for (j = 0; j < n; j ++)
                weight [i] [j] = -weight [i] [j];
        }


    // 初始化标号
    for (i = 0; i < n; i ++)
        {
        lx [i] = -0x1FFFFFFF;
        ly [i] = 0;
        for (j = 0; j < n; j ++)
            if (lx [i] < weight [i] [j])
                lx [i] = weight [i] [j];
        }


    memset (match, -1, sizeof (match));
    for (int u = 0; u < n; u ++)
        while (1)
            {
            memset (sx, 0, sizeof (sx));
            memset (sy, 0, sizeof (sy));
            if (path (u))
                break;


            // 修改标号
            int dx = 0x7FFFFFFF;
            for (i = 0; i < n; i ++)
                if (sx [i])
                    for (j = 0; j < n; j ++)
                        if(!sy [j])
                            dx = min (lx[i] + ly [j] - weight [i] [j], dx);
            for (i = 0; i < n; i ++)
                {
                if (sx [i])
                    lx [i] -= dx;
                if (sy [i])
                    ly [i] += dx;
                }
            }


    int sum = 0;
    for (i = 0; i < n; i ++)
        sum += weight [match [i]] [i];


    if (!maxsum)
        {
        sum = -sum;
        for (i = 0; i < n; i ++)
            for (j = 0; j < n; j ++)
                weight [i] [j] = -weight [i] [j];         // 如果需要保持 weight [ ] [ ] 原来的值，这里需要将其还原
        }
    return sum;
}




int main()
{
    int n;
    scanf ("%d", &n);
    init (n);
    int cost = bestmatch (true);


    printf ("%d ", cost);
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        {
        printf ("Y %d -> X %d ", i, match [i]);
        }


    return 0;
} 


/*
5
3 4 6 4 9
6 4 5 3 8
7 5 3 4 2
6 3 2 2 5
8 4 5 4 7
//执行bestmatch (true) ，结果为 29
*/


/*
5
7 6 4 6 1
4 6 5 7 2
3 5 7 6 8
4 7 8 8 5
2 6 5 6 3
//执行 bestmatch (false) ，结果为 21
*/

这个实现和图论书上描述的有所不同，这个和匈牙利算法方法上是一样的（不断地寻找增广道路。。），而不是像书上在过程中调用匈牙利算法。。

一个实例:

Description

百度办公区里到处摆放着各种各样的零食。百度人力资源部的调研发现，员工如果可以在自己喜欢的美食旁边工作，效率会大大提高。因此，百度决定进行一次员工座位的大调整。 调整的方法如下： 1．首先将办公区按照各种零食的摆放分成N个不同的区域（例如：可乐区，饼干区，牛奶区等等）； 2．每个员工对不同的零食区域有不同的喜好程度（喜好程度是1~100的整数， 喜好程度越大表示该员工越希望被调整到相应的零食区域）； 3．由于每个零食区域可以容纳的员工数量有限，人力资源部希望找到一个最优的调整方案使得总的喜好程度最大。

Input

第一行包含两个整数N，M(N>=1，M<=300)。分别表示N个区域和M个员工； 第二行是N个整数构成的数列a，其中a[i]表示第i个区域可以容纳的员工数(1<=a[i]<=M，a[1]+a[2]+...+a[N]=M)； 紧接着是一个M*N的矩阵P，P(i,j)表示第i个员工对第j个区域的喜好程度.

Output

对于每个测试数据，输出可以达到的最大的喜好程度。

Sample Input

3 3 1 1 1 100 50 25 100 50 25 100 50 25

Sample Output

175

Hint

此数据只存在一种安排方法，三个员工分别安置在三个区域。最终的喜好程度为100+50+25=175

Source

Astar2006 初赛

做法就是KM算法

我的建图过程如下： 把食品供应点拆开，不要让他成为一个点，如果一个食品供应点能够供应2个人，那就把它拆开成两个点，由于食品供应点的所有人数之和是等于员工数的，所以刚好构成一个两边点数一样的一个二分图，然后从员工到供应点连边的边权就是喜好度，然后再用KM算法进行最大带权匹配就好了，最后建的图是一个M*M的矩阵，由于M小于300，所以KM算法能够过。

也见到过别人用DP过掉的，不过没有想通。。DP一直很弱。。

话说我已经退役了，这个博客很少用了。。

#include
#include
#include
#define inf 99999999
#define maxn 305

using namespace std;

int n,m;
int a[maxn];
int map[maxn][maxn];
int temp[maxn][maxn];
int link[maxn];
int lx[maxn],ly[maxn];
bool x[maxn],y[maxn];


bool dfs(int u)
{
    int i;
    x[u]=true;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(lx[u]+ly[i]==map[u][i]&&!y[i])
        {
            y[i]=true;
            if(link[i]==-1||dfs(link[i]))
            {
                link[i]=u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    int i,j,k,num;
    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=m;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=m;j++)
                scanf("%d",&temp[i][j]);
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            num=0;
            for(j=1;j<=m;j++)
            {
                for(k=1;k<=a[j];k++)
                {
                    num++;
                    map[i][num]=temp[i][j];
                }
            }
        }
        memset(x,0,sizeof(x));
        memset(y,0,sizeof(y));
        memset(link,-1,sizeof(link));
        memset(ly,0,sizeof(ly));
        for(i=0;i
            lx[i]=inf;
        for(k=1;k<=n;k++)
        {
            while(1)
            {
                memset(x,0,sizeof(x));
                memset(y,0,sizeof(y));
                if(dfs(k))
                    break;
                int d=inf;
                for(i=1;i<=n;i++)
                    if(x[i])
                        for(j=1;j<=n;j++)
                            if(!y[j]&&lx[i]+ly[j]-map[i][j]
                                d=lx[i]+ly[j]-map[i][j];
                for(i=1;i<=n;i++)
                    if(x[i])
                        lx[i]=lx[i]-d;
                for(i=1;i<=n;i++)
                    if(y[i])
                        ly[i]=ly[i]+d;
            }
        }
        int ans1=0,ans2=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
            ans1=ans1+map[link[i]][i];
        printf("%d\n",ans1);
    }
    return 0;
}