解题报告：洛谷P1879 [USACO06NOV]玉米田Corn Fields

题目描述

农场主John新买了一块长方形的新牧场，这块牧场被划分成M行N列(1 ≤ M ≤ 12; 1 ≤ N ≤ 12)，每一格都是一块正方形的土地。遗憾的是，有些土地相当贫瘠，不能用来种草。并且，奶牛们喜欢独占一块草地的感觉，于是John不会选择两块相邻的土地，也就是说，没有哪两块草地有公共边。

John想知道，如果不考虑草地的总块数，那么，一共有多少种种植方案可供他选择？（当然，把新牧场完全荒废也是一种方案）

输入输出格式

输入格式：

第一行：两个整数M和N，用空格隔开。

第2到第M+1行：每行包含N个用空格隔开的整数，描述了每块土地的状态。第i+1行描述了第i行的土地，所有整数均为0或1，是1的话，表示这块土地足够肥沃，0则表示这块土地不适合种草。

输出格式：

一个整数，即牧场分配总方案数除以100,000,000的余数。

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分析

状态转移方程

$f[i][j]={\sum }_{j=0}^{k}f[i-1][j]（方案j保证合法）$

$f[i][j]$的含义：在第i行的状态（种草方案）为j时的总方案数。

在考虑状态转移方程时，我们要思考这道题最重要的自变量是什么。本题中，最重要的自变量为某处是否要种草，而它的决定因素只有三个：

• 左右是否有其他草地相邻；
• 上方是否有草地相邻（下方的还没有算出来所以不用考虑）；
• “贫瘠的”土地上不能种草，即考虑是否与数据相抵触。

先来看第一个因素：

每一行内不允许出现相邻草地的情况，如01010110就是不合法的。如何来判断这种情况？

结合按位与的逻辑与合法情况的特征，假如将合法情况（如01010101或001001001）左移或右移一位，得到的新数与原数进行按位与操作，结果为0，若是非法情况，则结果为非0，据此判断合法情况。

for (int i = 0;i <= (1 << m) - 1;i++)
	if (!(i & (i << 1))) //作者只考虑了左移的情况，可能是数据太水了
		state[k++] = i;

第二个因素：

假设上一行的方案为10101010，则下一行不能是01010010。将这两个数进行按位与运算，结果为非0。

假如下一行为01010101，这就是一个合法方案。结合按位与的逻辑，判断方法如下：

if (!(state[h] & state[j]))
	dp[i][j] += dp[i - 1][h] % MOD;

第三个因素：

假设某一行数据为[1 0 0]，则方案[1 0 1]是非法的，因为第三格（1）不能种草。100 & 101 = 1.

同理，可以将某一行的数据与方案进行按位与运算，结果非零则不合法，否则合法。

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解决问题

作者照着别人的程序打了一遍后，发现还是不理解，经过反复的思考，他终于写出了自己的代码：

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        for (int j = 1;j <= m;j++)
        {
            scanf("%d",&mi);
            mp[i] <<= 1;
            mp[i] += mi;
        }//状态压缩。
        
    for (int i = 0;i <= (1 << m) - 1;i++)
        if (!(i & (i << 1)))
            state[k++] = i;
            //找到一行中的合法情况。
            
    for (int i = 0;i < k;i++)
        if (state[i] == (state[i] & mp[1]))
            dp[1][state[i]] = 1;
            //初始化。动规都是要赋初值的对不对qwq
            
    for (int i = 2;i <= n;i++)
        for (int j = 0;j < k;j++)
        {
            if (state[j] != (state[j] & mp[i])) continue;
            for (int h = 0;h < k;h++)
            {
                if (state[h] != (state[h] & mp[i - 1])) continue;
                if (!(state[h] & state[j]))
                {
                    dp[i][state[j]] += dp[i - 1][state[h]];
					dp[i][state[j]] %= MOD;
				}
            }
        }//dp过程
        
    for (int i = 0;i < k;i++)
    {
        ans += dp[n][state[i]];
        ans %= MOD;
    }//求解
    printf("%d",ans);
}

代码解释

状态压缩

假设有状态[1 1 0 1 1 1 1 1]，每读入一位，先将前面的左移一位，再在末尾加上新值。状压的结果为$（11011111{）}_2$，即$（223{）}_{10}$。

就是一个进制转换。

找到一行内合法情况

假设一共有3列土地，则所有状态（000~111）共有7（$2^3-1$）种可能方案。同理若有m列，枚举的范围为$[0,2^m-1]$。

初始化

注意不能写成dp[1][i] = 1;。因为可能i非法，而state[i]合法，下面也一样。

因为只有一行，所以一种状态只会对应一种方案。

dp过程

第一行已经求出，所以从第二行开始枚举。
state[j] != (state[j] & mp[i])和state[h] != (state[h] & mp[i - 1])都是判断方案与数据是否抵触。至于为什么这么写，可以想一下。

未完待续…