无向图求桥的几种方法（无重边）

目录

前言：

法一：计算连通分量的基准法

描述：

时间复杂度分析：

数据：

法二：找结点基准法

描述：

时间复杂度分析：

数据：

法三：并查集

描述：

按秩合并：

路径压缩：

时间复杂度分析：

数据：

法四：生成树筛边基准法

描述：

时间复杂度分析：

数据：

法五：生成树筛边并查集

描述：

时间复杂度分析：

数据：

法六、Tarjan算法

描述：

实现细节：

举例：

时间复杂度分析：

数据：

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前言：

一图中求桥的方法有很多种，以下介绍6种求桥的方法

有一个结论：当图的连通子图的个数 ≥ 2的时候，邻接表一定比矩阵快

举例：假设一个图有10000个结点，其中的一个连通子图只有3个结点2条边，那么在判断这个结点上的2条边是否为桥的时候，邻接表只需要2次即可找到这2条边，而矩阵需要2*10000次才可以找到这2条边

所以后文中图的存储结构都是采用的邻接表，不会混用邻接表和邻接矩阵

法一：计算连通分量的基准法

描述：

假设边e连接着2个顶点v1和v2

对全图做DFS计算出连通子图个数k1

删掉边e

再对全图做DFS计算出连通子图个数k2

若k2

时间复杂度分析：

对全图做DFS需要O（n+e）

有e条边

需要对全图做e次DFS，总时间为O（en+e²）

稀疏图：O（n²）

稠密图：O（n^4）

数据：

                                                  图1、计算连通分量基准法数据

可以看出此方法的速度是非常慢的

 

法二：找结点基准法

描述：

假设边e连接着2个顶点v1和v2，删掉边e，对顶点v1进行DFS

如果v2在v1的DFS中，则边e不是桥

如果v2不在v1的DFS中，则边e是桥

时间复杂度分析：

假设图有n个顶点，e条边

需要做e次DFS

每次DFS时间为O（e)

总时间为：O(e²）

 

稀疏图：O（n²）

稠密图：O（n^4）

数据：

                                                  图2、找结点基准法的稀疏图数据

由图2可以知道，在稀疏图中，找结点基准法比计算连通分量的基准法快很多

                                                  图3、找结点基准法的稠密图数据

由图3可以知道，在稠密图中，找结点基准法比计算连通分量的基准法快很多

因此，找结点基准法是一种比计算连通分量基准法更优秀的算法

 

法三：并查集

描述：

假设边e连接着2个顶点v1和v2

删掉边e

刷新图的各结点的集合

若v1和v2在同一个集合中，则边e不为桥

若v1和v2不在同一个集合中，则边e为桥

按秩合并：

在集合的合并中，将小集合合并到大集合中

 

路径压缩：

在Union操作中，由于大部分新加入的结点都是加在集合树的叶子上，所以会导致集合树的深度过大，那么可以在Find操作中，将叶子结点人工地指向根结点，这样就可以降低树的高度，提高find的效率

 

时间复杂度分析：

假设图有n个顶点，e条边

初始化需要n次MAKE-SET操作

判断每条边需要做2次FIND-SET操作，判断图共2e次FIND-SET操作

每个顶点需要做一次UNION操作，判断图共n次UNION操作

由书上定理21.14，最坏需要O（(n+2e+n)α(n)）取O （(n+2e+n)）

所以更新一次集合的时间为O （(n+2e+n)）

由于有e条边，需要更新e次集合，所以总时间为：O （(2ne+2e²)）

稀疏图：O（n²）

稠密图：O（n^4）

数据：

图4、并查集的稀疏图数据

由图可以得出稀疏图中并查集的增长仍是符合O（n²）的，而且速度比计算连通分量的基准法快，但比找结点基准法慢

法四：生成树筛边基准法

描述：

在做基准法之前，先用DFS扫出生成树，只对生成树上的边做基准法

时间复杂度分析：

 

数据：

稀疏图：

图5、生成树筛边基准法的稀疏图数据

由图5可以得出：在边数小于顶点数时，由于找到生成树需要额外的时间，所以生成树基准法比找点基准法慢

稠密图：

图6、生成树筛边基准法的稠密图数据

由图6可以看出：在边数远大于顶点数时，生成树基准法所需要判断是否为桥的边远小于基准法中要判断的边，所以生成树基准法快于基准法

 

法五：生成树筛边并查集

描述：

在做基准法之前，先用DFS扫出生成树，只对生成树上的边做并查集

 

时间复杂度分析：

 

数据：

结点个数为10000，边数为n时数据

图7、生成树筛边并查集数据

由图7可以得出：

某些边数小的区间内，生成树并查集慢于并查集

在边数大的区间，生成树并查集快于并查集，因为边数多的时候，生成树并查集所需要判断是否为桥的边远小于并查集中要判断的边，所以生成树并查集快于并查集

 

法六、Tarjan算法

描述：

从某个顶点开始进行DFS，并进行标号

如果某个结点的某条边的DFS中有某个孩子有边指向这个结点或这个结点的祖先，那么这条边为桥

实现细节：

设置一个visit数组表示访问的顺序

设置一个low数组，low[i]表示结点i的孩子中指向的最早的祖先

low[v] = min { visit[v], low[w], visit[k] }

其中：w为v的孩子结点

      k为v的祖先结点

若(v1,v2)是一条边

low[v1]>visit[v2]的意义：

v1包括v1的子树所连的最早的祖先在v2的子树中

结论：

若low[v1]>visit[v2]，则(v1,v2)必为桥

 

举例：

图8、样例图

如图8，我们要找到图中所有的桥

图9、计算visit数组和low数组的过程

如图9，从结点0开始做DFS，结点左边的数为visit，右边的数为low，所得出visit的顺序和low的顺序由上图的蓝色箭头所示

图10、low大于visit的结点

如图10，绿色箭头所示的low都大于visit,所以所对应的边都为桥

 

时间复杂度分析：

邻接表一次DFS的复杂度为O（n+e）

 

稀疏图：O（n）

稠密图：O（n²）

数据：

图11、Tarjan算法稀疏图数据

由图11可得：在稀疏图中，Tarjan算法的增长符合O（n），而且它的速度超过了前面所提出的所有算法，时间复杂度达到线性

图12、Tarjan算法稠密图数据

由上图可得：在稠密图中，Tarjan算法的增长符合O（n²），但仍然是比前面所提过的所有算法快