A'A和AA'拥有相同的非零特征值的证明

假设A是一个 m×n 的矩阵，记A的转置为 AT 。
首先证明 r(AAT)=r(ATA)=r(A)=r(AT) .

假设线程方程组为 Ax=0 和 ATAx=0 。
如果 Ax=0 ,则 AT(Ax)=0 ,所以 Ax=0 的解为 ATAx=0 的解。

对于 ATAx=0 ,两边同时乘以 xT ,得到 xTATAx=xT∗0=0 .
则有 (Ax)T(Ax)=0 ,. 即， ||Ax||=0 。所以得到 Ax=0 .所以， AT(Ax)=0 的解都为 Ax=0 的解。

所以 Ax=0 和 ATAx=0 有相同的解空间，所以 r(A)=r(ATA) 。同理， r(AT)=r(AAT) 。所以 r(AAT)=r(ATA)=r(A)=r(AT) .

下面证明 特征值相同。
假设 x 是 ATA 的输入特征值 λ 的特征向量。 ATAx=λx .
两边同乘以 A ,得到 AATAx=λAx , 则有 AAT(Ax)=λ(Ax) 。
所以 ATA 和 AAT 有相同的非零特征值。
同理可得， AB 和 BA 有相同的非零特征值。