解题报告（4）——麻烦的聚餐

麻烦的聚餐

题目描述

为了避免餐厅过分拥挤，FJ要求奶牛们分3批就餐。每天晚饭前，奶牛们都会在餐厅前排队入内，按FJ的设想，所有第3批就餐的奶牛排在队尾，队伍的前端由设定为第1批就餐的奶牛占据，中间的位置就归第2批就餐的奶牛了。由于奶牛们不理解FJ的安排，晚饭前的排队成了一个大麻烦。

 

第i头奶牛有一张标明她用餐批次 D_i(1 <= D_i <= 3) 的卡片。虽然所有 N (1 <= N <= 30,000) 头奶牛排成了很整齐的队伍，但谁都看得出来，卡片上的号码是完全杂乱无章的。 在若干次混乱的重新排队后，FJ找到了一种简单些的方法：奶牛们不动，他沿着队伍从头到尾走一遍，把那些他认为排错队的奶牛卡片上的编号改掉，最终得到一个他想要的每个组中的奶牛都站在一起的队列，例如 111222333 或者 333222111。哦，你也发现了，FJ不反对一条前后颠倒的队列，那样他可以让所有奶牛向后转，然后按正常顺序进入餐厅。

 

你也晓得，FJ是个很懒的人。他想知道，如果他想达到目的，那么他最少得改多少头奶牛卡片上的编号。所有奶牛在FJ改卡片编号的时候，都不会挪位置。

输入格式

第 1 行: 1 个整数：N。

第 2.. N+1 行: 第 i+1 行是 1 个整数，为第 i 头奶牛的用餐批次 D_i 。

 

输出格式

输出 1 个整数，为FJ最少要改几头奶牛卡片上的编号，才能让编号变成他设想中的样子。

 

样例数据 1

输入　

5

1

3

2

1

1

输出

1

备注

【样例输入说明】

队列中共有 5 头奶牛，第 1 头以及最后 2 头奶牛被设定为第一批用餐，第 2 头奶牛的预设是第三批用餐，第 3 头则为第二批用餐。

【样例输出说明】

如果 FJ 想把当前队列改成一个不下降序列，他至少要改 2 头奶牛的编号，一种可行的方案是：把队伍中 2 头编号不是1的奶牛的编号都改成 1。不过，如果FJ选择把第1头奶牛的编号改成 3，就能把奶牛们的队伍改造成一个合法的不上升序列了。

 

算法分析：

方法一：直接动规*2  期望得分：90（读入优化：100）     时间复杂度：n² （一卡常就死）

1）读入数据后，先求的最长不下降序列；

2）再求最长不上升序列；

3）用总数分别减去求得长度，输出较小的；

 

注意：

1、算法复杂度大，直接不加优化，很可能出现超时，最好想尽一切办法优化+剪枝；

 

Source：

#include
#include
#include
#include
#include
#include

using namespace std;

int n;
/*n:数据个数*/
int d[30010],f1[30010],f2[30010];
/*d[i]:第i头牛的编号*/
/*f1[i]:以i为开头的最长不下降序列的长度*/
/*f2[i]:以i为开头的最长不上升序列的长度*/

inline void R(int &v) /*读入优化*/
{
	v=0;
	char c=0;
	bool p=true;
	while(c>'9'||c<'0')
	{
		if(c=='-')
		{
			p=false;
		}
		c=cin.get();
	}
	while(c<='9'&&c>='0')
	{
		v=(v<<3)+(v<<1)+c-'0';
		c=cin.get();
	}
	if(p==false)
	{
		v=-v;
	}
}

int main(void)
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL); /*cin解绑*/
	//freopen("egroup.in","r",stdin);
	//freopen("egroup.out","w",stdout);
	R(n);
	for(int i=1;i<=n;++i) /*读入数据*/
	{
		R(d[i]);
	}
	int ma1=-1,ma2=-1; /*初始化两边最大值为极小值*/
	fill(f1+1,f1+n+1,1); /*初始化*/
	fill(f2+1,f2+n+1,1); /*初始化*/
	for(int i=n-1;i>=1;--i) /*求最长不下降序列*/
	{
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
		{
			if(d[j]>=d[i])
			{
				f1[i]=max(f1[i],f1[j]+1); /*更新*/
			}
		}
		ma1=max(f1[i],ma1); /*记录最大值*/
	}
	ma1=n-ma1; /*转为需调整的最小值*/

	for(int i=n-1;i>=1;--i) /*求最长不上升序列*/
	{
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
		{
			if(d[j]<=d[i])
			{
				f2[i]=max(f2[i],f2[j]+1); /*更新*/
			}
		}
		ma2=max(f2[i],ma2);  /*记录最大值*/
	}
	ma2=n-ma2; /*转为需调整的最小值*/
	cout<

方法二：投机取巧（仅限于本题）6个for循环搞定        期望得分：100   时间复杂度：6n

1）读入数据后，分别枚举1,2,3求出相应不下降序列；

2）同理求出不上升序列；

3）用总数分别减去求得长度，输出较小的；

#include
#include
#include
#include
#include
#include

using namespace std;

int d[30010],f[30010];
/*d[i]:第i头牛的编号*/
/*f[i]:在i以后的最长不下降（上升）序列长度*/
int n,x,cnt;
/*n:数据个数; x:记录更改后最大值*/
/*cnt:统计第一个数字的数量*/

inline void R(int &v) /*读入优化*/
{
	v=0;
	char c=0;
	bool p=true;
	while(c>'9'||c<'0')
	{
		if(c=='-')
		{
			p=false;
		}
		c=cin.get();
	}
	while(c<='9'&&c>='0')
	{
		v=(v<<3)+(v<<1)+c-'0';
		c=cin.get();
	}
	if(p==false)
	{
		v=-v;
	}
}

int main(void)
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL); /*cin解绑*/
	//freopen("egroup.in","r",stdin);
	//freopen("egroup.out","w",stdout);
	R(n);
	for(int i=1;i<=n;++i) /*读入数据*/
	{
		R(d[i]);
	}
	int ma=0;
	int mi=0; /*初始化两边最大值为极小值*/

	/*最长不下降序列*/
	for(int i=n;i>=1;--i)  /*统计1的个数，及在1以后的长度*/
	{
		if(d[i]==1)
		{
			cnt++;
		}
		f[i]=cnt; /*更新*/
	}
	x=0; /*初始化更新值为0*/
	for(int i=n;i>=1;--i)
	{
		if(d[i]==2)
		{
			f[i]=max(f[i]+1,x+1);
			/*从之前的更新最大值和当前上个数值的最大值中选择*/
			if(f[i]>x)
			{
				x=f[i]; /*更新值*/
			}
		}
		if(x>f[i])
		{
			f[i]=x;
		}
	}
	/*求3开头的同上面2*/
	x=0;
	for(int i=n;i>=1;--i)
	{
		if(d[i]==3)
		{
			f[i]=max(f[i]+1,x+1);
			if(f[i]>x)
			{
				x=f[i];
			}
		}
		if(x>f[i])
		{
			f[i]=x;
		}
	}
	ma=n-f[1];
	memset(f,0,sizeof(f));
	cnt=0; /*初始化清零计数器*/
	
	/*最长不上升序列*/
	/*方式同上，数据顺序变为3,2,1*/
	for(int i=n;i>=1;--i)
	{
		if(d[i]==3)
		{
			cnt++;
		}
		f[i]=cnt;
	}
	x=0;
	for(int i=n;i>=1;--i)
	{
		if(d[i]==2)
		{
			f[i]=max(f[i]+1,x+1);
			if(f[i]>x)
			{
				x=f[i];
			}
		}
		if(x>f[i])
		{
			f[i]=x;
		}
	}
	x=0;
	for(int i=n;i>=1;--i)
	{
		if(d[i]==1)
		{
			f[i]=max(f[i]+1,x+1);
			if(f[i]>x)
			{
				x=f[i];
			}
		}
		if(x>f[i])
		{
			f[i]=x;
		}
	}
	mi=n-f[1];
	cout<

方法三：分别建立以1,2,3为结尾的最长不下降序列     期望得分：100   时间复杂度：6n

1）读入数据后，枚举找出f[i]及小于f[i]的不下降序列的最大值，并且加1，最后n次后，找出3个数中最大的；

2）同理求出不上升序列；

3）用总数分别减去求得长度，输出较小的；

#include
#include
#include
#include
#include
#include

using namespace std;

int d[30010];
/*d[i]:第i头牛的编号*/
int n,x,s[4];
/*n:数据个数; x:临时变量记录最大值*/
/*s[i]:以i结尾的最长不下降（上升）序列长度*/

inline void R(int &v) /*读入优化*/
{
	v=0;
	char c=0;
	bool p=true;
	while(c>'9'||c<'0')
	{
		if(c=='-')
		{
			p=false;
		}
		c=cin.get();
	}
	while(c<='9'&&c>='0')
	{
		v=(v<<3)+(v<<1)+c-'0';
		c=cin.get();
	}
	if(p==false)
	{
		v=-v;
	}
}

int main(void)
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL); /*cin解绑*/
	//freopen("egroup.in","r",stdin);
	//freopen("egroup.out","w",stdout);
	R(n);
	for(int i=1;i<=n;++i) /*读入数据*/
	{
		R(d[i]);
	}
	int ma=0;
	int mi=0; /*初始化两边最大值为极小值*/

	/*最长不下降序列*/
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int x=0; /*临时变量清零*/
		for(int j=1;j<=d[i];++j)
		/*枚举之前的比当前值小的最长*/
		{
			x=max(x,s[j]+1); /*更新临时变量*/
		}
		s[d[i]]=x;  /*更改赋值*/
	}
	for(int i=1;i<=3;++i)
	{
		ma=max(ma,s[i]); /*枚举找出最大值*/
	}
	ma=n-ma; /*转为最小值存储*/
	memset(s,0,sizeof(s)); /*清零*/

	/*最长不上升序列*/
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int x=0; /*临时变量清零*/
		for(int j=3;j>=d[i];--j)
		/*枚举之前的比当前值大的最长*/
		{
			x=max(x,s[j]+1); /*更新临时变量*/
		}
		s[d[i]]=x; /*更改赋值*/
	}
	for(int i=1;i<=3;++i)
	{
		mi=max(mi,s[i]); /*枚举找出最大值*/
	}
	mi=n-mi; /*转为最小值存储*/
	cout<

Summary：

本题是一道经典的动归题，但是又有些不一样，平常的动归算法都是n²及以上的，但是面对本题，那样高的复杂度显然不合适，所以就需要进行优化，考试中我想到的是第二种，比较取巧，如果遇到别的题就完全不能实现，相较而言第三种方法更为通用，并且对于同类题也能解决，之后会讲解关于第三种算法的优化和扩展，至于第一种，在想不到优化时，可以使用，得分为上。