图论-网络流②-最大流①

图论-网络流②-最大流①

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参考文献：

• https://www.cnblogs.com/DuskOB/p/11216861.html
• https://blog.csdn.net/yjr3426619/article/details/82808303
• https://blog.csdn.net/lym940928/article/details/90209172
• https://baike.baidu.com/item/%E7%BD%91%E7%BB%9C%E6%B5%81/2987528?fr=aladdin
• https://www.cnblogs.com/pk28/p/8039645.html
• https://blog.csdn.net/disgustinglemon/article/details/51296636

大纲

• 什么是网络流
• 最大流（最小割）$\text{Start}$

• $Dinic$ （常用）$\text{End}$
• $EK$
• $Sap$
• $Ford-Fulkerson$（不讲）
• $HLPP$ （快）

• 最大流解题
• 费用流

• $EK$ 费用流
• $Dinic$ 费用流
• $zkw$ 费用流

• 费用流解题

• 有上下界的网络流

• 无源汇上下界可行流
• 有源汇上下界可行流
• 有源汇上下界最大流
• 有源汇上下界最小流
• 最大权闭合子图

• 有上下界的网络流解题

最大流

即源点到汇点的最大总流量。如果把网络流图比作水管道系统，那么就是求单位时间内源点到汇点能流多少水。概念较抽象，那么拿前面那张网络流图举例：

$s\stackrel{flow=3}{}1$
$s\stackrel{flow=1}{}3$
$1\stackrel{flow=1}{}2$
$3\stackrel{flow=2}{}4$
$1\stackrel{flow=2}{}4$
$2\stackrel{flow=2}{}t$
$4\stackrel{flow=2}{}t$

结论：最大流为 $3$。

首先 $s$ 处可以流出无限流量，但因为 $s$ 到 $1$ 的边流量只有 $3$，所以 $s$ 先向 $1$ 流 $3$ 的流量，现在 $1$ 处有 $3$ 的流量。因为是单位时间内的流量，所以 $s\to 1$ 的边就不能再用了。

同理，$1$ 处的 $3$ 份流量分到 $2$ 和 $4$ 处。$1\to 2$ 和 $1\to 4$ 的边不能再用。$2$ 处有 $1$ 流量，$4$ 处有 $2$ 流量。然后再通过边 $2\to t$ 和 $4\to t$ 向汇点 $t$ 流 $3$ 的流量。

然后再用 $s\to 3$，于是 $3$ 处有了 $1$ 的流量。然后再走 $3\to 4$，因为 $3$ 处只有 $1$ 的流量，所以虽然 $3\to 4$ 能流 $2$ 的流量，$4$ 也只能得到 $1$ 的流量。 然后再看 $4\to t$ ，因为 $4\to t$ 的边已经用完，所以即使 $4$ 处有 $1$ 的流量，$t$ 也得不到一点流量。

所以最终最大流为 $3$。

不过现在先不讲最大流算法，过会儿你就知道为什么了。

最小割

定义

给定一个网络流图 $G=(V,E)$，源点为 $s$，汇点为 $t$。若一个边集 $E^{\prime }\subseteq E$ 被删去后，$s$ 和 $t$ 不再联通，则称该边集为网络的割。边流量之和的最小的割称为网络的最小割。

再回到刚刚那个网络流图：

结论：最小割为 $3$。

先割断 $1\to 2$，再割断 $4\to t$，$s$ 和 $t$ 不再联通。并且保证没有别的割法比这样更优。所以该网络流图的最小割为 $3$ 。

重要结论：

$$\text{一个网络流图的最小割等于它的最大流。}$$

蒟蒻的粗略证明：最大流必然有一些流满的边，如果把它们删掉，就是最小割了。如果删掉后还未成功割图，说明有些支流未流满，就不是最大流了。

最大流（最小割）算法

通过上文我们已知一个网络流图的最小割等于它的最大流，所以求最大流的算法同样也是求最小割的算法。求最大流的算法很多，其中 $Dinic$ 最为普遍使用。

Dinic

$Dinic$ 算法会对网络流图做一个分层。其实也就是做一次 $Bfs$，把源点设为第 $0$ 层，然后遍历源点的相邻节点，设为第 $1$ 层，再遍历这些节点的相邻节点……直到汇点。

实现：

1.将源点的层次设为 $0$，把源点设为已经访问，别的点设为未访问。

2.按照 $Bfs$ 序遍历网络流图，为节点分层，遍历到终点结束。

3.在层次网络中，沿着相邻层 $Dfs$ 搜索所有的增广路，并做相应的流量调整。

4.重复 $1\sim 3$。

算法较抽象，拿图举例（节点上的数为层次）：

第一次建立层次网络，找到了蓝线表示的三条增广路，做流量调整。

第二次建立层次网络，上次流光的边这次不发挥作用，找到一条增广路。

第三次建立层次网络，汇点已经不能通过有用的边联通，算法终止。

如果你懂了，蒟蒻就放代码了。$Dinic$ 最大流最小割算法：

#include 
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
template<int V,int M>
class Dinic{
public:int E,g[V],to[M],nex[M],fw[M];
	void clear(){memset(g,0,sizeof g),E=1;} 
	//E=1保证了互为反边的两条边可以通过^1互相得到
	Dinic(){clear();}
	//初始化
	void add(int x,int y,int f){nex[++E]=g[x],to[E]=y,fw[E]=f,g[x]=E;}
	//标准加边
	void Add(int x,int y,int f){add(x,y,f),add(y,x,0);}
	//加正边和反边，使得增广可以反悔
	int dep[V],cur[V];bool vis[V];queue<int> q;
	//dep表示层次，cur为单前弧优化，下面会讲。
	//vis表示是否访问，queue维护bfs
	bool bfs(int s,int t,int p){
		for(int i=1;i<=p;i++) vis[i]=0,cur[i]=g[i];
		q.push(s),vis[s]=1,dep[s]=0; //从源点开始bfs
		while(q.size()){
			int x=q.front();q.pop();
			for(int i=g[x];i;i=nex[i])if(!vis[to[i]]&&fw[i])
				q.push(to[i]),vis[to[i]]=1,dep[to[i]]=dep[x]+1;
				//bfs过程中顺便给每个节点标上层次。
		}
		return vis[t]; //表示联通
	}
	int dfs(int x,int t,int F){
		if(x==t||!F) return F;
		int f,flow=0;
		for(int&i=cur[x];i;i=nex[i]) //即i=g[x]
			if(dep[to[i]]==dep[x]+1&&(f=dfs(to[i],t,min(F,fw[i])))>0) //沿着层次增广
				{fw[i]-=f,fw[i^1]+=f,F-=f,flow+=f;if(!F) break;}
				//边的流量调整
		return flow; //一次增广的流量。
	}
	int dinic(int s,int t,int p){ //多次增广函数
		int res=0,f;
		while(bfs(s,t,p)) while((f=dfs(s,t,inf))) res+=f;
		return res;
	}
};
int n,m,s,t,p;
Dinic<10010,200010> net;
int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t),p=n;
	for(int i=1,x,y,f;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&f);
		net.Add(x,y,f);
	}
	printf("%d\n",net.dinic(s,t,p));
	return 0;
}

以上代码读者可能有两个地方不懂：

1.反向反悔边

因为一条边的流量是通过以下代码调整的：

fw[i]-=f,fw[i^1]+=f,F-=f,flow+=f;if(!F) break;

所以可以把反悔看成走反边，以得到最大流。

2.单前弧优化

for(int i=1;i<=p;i++) vis[i]=0,cur[i]=g[i];

for(int&i=cur[x];i;i=nex[i])

因为 $Dinic$ 的增广是沿着加边顺序（严谨地说，是沿着加边反顺序）增广的，所以每一次增广时，前面几条边可能已经增广完了，这时，如果记录第一条没增广完的边，下一次增广从这条边开始，就方便、快很多。

下一篇会讲最大流的剩下 $3$ 种算法。

祝大家学习愉快！