图：图的应用（最小生成树、拓扑排序、关键路径）

一：求最小生成树

应用场景：例如要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

• 普里姆算法：

  该算法的核心就是依次增大连通图的过程：

  1. 首先任意选择一个节点，作为一个连通图
  2. 然后找到与该连通图相邻的一个节点（权值最小），连接
  3. 重复上述步骤，知道包含所有结点和 n - 1条边
     

• 克鲁斯卡尔算法：

  该算法的核心就是依次挑选最小权值的边的过程：

  1. 将图中的所有边都去掉。
  2. 将边按权值从小到大的顺序添加到图中，保证添加的过程中不会形成环
  3. 重复上一步直到连接所有顶点，此时就生成了最小生成树。
     

二：拓扑排序

常用于判断某个有向图是否有环。通常再求图的关键路径前先用拓扑排序来确保图无环。

拓扑步骤：
1. 在有向图中选一个没有前驱的顶点并且输出。
2. 从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。
3. 重复上述两步，知道全部顶点均已输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止。
注意：有向无环图的拓扑有序序列不一定唯一。

三：图的关键路径

主要用来评估工程的完成时间，主要用来解决一下问题：

1. 完成整个工程至少需要多少时间？

2. 那些活动是影响工程进度的关键？

   

   如图所示：假想是一个有7项活动的AOE网，其中有7个事件(V1,V2,V3…V7)。
   每个事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。
   如V0表示整个工程开始，V7表示整个共结束，V5表示a4和a8已经完成，a9可以开始。

下一节将详细来给大家讲解影响工程的关键边、关键路径、事件和活动的最早最迟执行时间等的求法。