平稳过程

严平稳定义：

设是一个随机过程：

n维随机变量与有相同的n维联合分布函数。

则称随机过程为严平稳过程。

宽平稳定义：

如果随机过程是二阶矩过程，即，且满足：

1、E[X(t)]=m

2、R(s,t)=E[X(s)X(t)]=R(t-s)

定理1：

严平稳是宽平稳  严平稳过程的二阶矩存在。

定理2：

正态随机过程是严平稳  它为宽平稳。

 

随机相位正弦波：，在[0，2π]上服从均匀分布。

m(t)=0

R(t,t+τ）=

且

 

实平稳过程自相关函数的性质：

 

定理1：

如果是周期为L的周期平稳过程，即P{X(t+L)=X(t)}=1，则X(t)的自相关函数，有R(τ+L)=R(τ)

定理2：

实平稳过程均方连续 在τ=0处连续，且此时处处连续

定理3：

设是平稳过程：

（1）均方可微  在τ=0处二次可微，此时处处存在。

（2）均方可微  为平稳过程，，

（3）与的互相关函数为：，

定理4：

设实平稳过程均方连续，则在有限区间上均方积分存在，且有

 

平稳过程均方遍历性：

时间均值：

时间自相关函数：

 

均值具有均方遍历性：

，依概率1成立。

定理1：

均值具有均方遍历性  

ps:也可通过判定。

 

自相关函数具有均方遍历性：

，依概率1成立。

定理2：

的4阶矩存在，且是均方连续的平稳过程，则

自相关函数具有均方遍历性  

其中，

ps：若是零均值的实平稳的正态随机过程，且，则自相关函数均方遍历。