【笔记】一元函数的不定积分

# 一元函数的不定积分

基本积分公式

$\int 0dx=c$
$\int x^{u}dx=\frac{x^{u+1}}{u+1}+c$
$\int \frac{dx}{x}=ln|x|+c$
$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{lna}+c$
$\int cosxdx=sinx+c$
$\int sinxdx=-cosx+c$
$\int sin^2xdx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}sin2x+c$
$\int cos^2xdx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin2x+c$
$\int tan^2xdx=tanx-x+c$
$\int cot^2xdx=-cotx-x+c$
$\int csc^2x dx=-cotx+c$
$\int sec^2x dx=tanx+c$
$\int secxtanx=secx+c$
$\int cscxcotx=-cscx+c$
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^{2}}}=arcsin\frac{x}{a}+c$
$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+c$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=lin(x+\sqrt{x^2\pm a^2})+c$
$\int tanxdx=-ln|cosx|+c$
$\int cotxdx=ln|sinx|+c$
$\int secxdx=ln|secx+tacx|+c$
$\int cscxdx=ln|cscx+cotx|+c$
$\int arcsinxdx=xarcsinx+(1-x^2)^{\frac{1}{2}}+c$
$\int arctanxdx=\frac{1}{2}x^2arctanx+\frac{1}{2}arctanx-\frac{1}{2}x$

---

三角恒等式
$sin^2x+cos^2=1$
$1+tan^2x=secx$
$1+cot^2x=cscx$

有理函数的不定积分

化部分分式法

1. 对分式$\frac{Pn(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)^2(x-d)^2}$应化为：
   $$\frac{Pn(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)^2} =\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C_1}{x-c}+\frac{C_2}{(x-c)^2}$$

引理：
一个多项式不可因式分解的最高次为2
即任意多项式$ax^3+bx^2+cx+d$一定可以被分解为$(\lambda x+\mu)(x^2+px+q)$
但$(x^2+px+q)$不一定能被分解

1. 对分式$\frac{Pn(x)}{(x-a)(x-b)(x^2+px+q)^2}$应化为：
   $$\frac{Pn(x)}{(x-a)(x-b)(x^2+px+q)^2} =\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px-q)^2}$$

之后对简单的分式直接求不定积分，对复杂的分式凑微分。

Euler代换法

用$R(u,v)$表示关于$u,v$的有理函数

1. 对于$R(x,\sqrt{x^2+px+q})$ ($x^2+px+q$不能再因式分解)
   通常用$t=x+\sqrt{x^2+px+q}$代换.

2. 对于$R(x,\sqrt{x^2+px+q})$ ($x^2+px+q=(ax+b)(cx+d)$)
   通常用$t=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$代换

三角代换

对于同时出现根号和$a^2-x^2$一类的式子时，采用三角代换：
$\sqrt{x^2+a^2}\rightarrow x=atant$
$\sqrt{x^2-a^2}\rightarrow x=asect$
$\sqrt{a^2-x^2}\rightarrow x=asint$
$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+c$
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin\frac{x}{a}+c$

例题

分部积分法

$eg.1 \int xe^xdx$
$
\begin{align}
原式 & = \int x de^x \\
& = xe^x-\int e^xdx \\
& = (x-1)e^x
\end{align}
$

---

$eg.2 \int e^xsinxdx$
$
\begin{align}
原式 & = \int sinx de^x \\
& = e^xsinx - \int e^xdsinx \\
& = e^xsinx - \int e^xcosxdx \\
& = e^xsinx - \int cosxde^x \\
& = e^xsinx - e^xcosx - \int e^xsinxdx \\
\end{align}
$
$$\Rightarrow 2\int e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)+c$$
$$\Rightarrow \int e^xsinxdx=\frac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+c$$

此类题目最终化为$a=b+c-a\Rightarrow a=\frac{1}{2}b+c$的形式
注意在分部积分后及时套用第二换元法

---

$eg.3\int xlnxdx$
$
\begin{align}
原式 & = \int lnxd\frac{x^2}{2} \\
& = \frac{x^2}{2}lnx - \int \frac{x^2}{2}dlnx \\
& = \frac{x^2}{2}lnx - \int \frac{x^2}{2}\frac{1}{x}dx \\
& = \frac{x^2}{2}lnx - \int frac{x}{2}dx \\
& = \frac{x^2}{2}lnx - \frac{1}{4}x^2+c
\end{align}
$

分部积分的运用中可加入凑微分
凑微分的顺序:指数函数>三角函数>幂函数

---

$eg.4$