组合数学——计数原理和计数公式

加法原理和乘法原理

加法原理是分类，乘法原理是分步。这个不用多解释了。

无重复的排列组合

排列

从 n n 个不同元素中取 m(m≤n) m ( m ≤ n ) 个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n n 个不同元素取出的一个排列。
这个排列中没有重复元素，所以叫无重复的排列。记作 Amn A n m 或 Pmn P n m 。
明显可以得到计算公式：

Pmn=n(n−1)(n−2)…(n−m+1)=n!(n−m)! P n m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) … ( n − m + 1 ) = n ! ( n − m ) !

特别地，在 n=m n = m 的时候，称为全排列。

Pnn=n! P n n = n !

组合

从 n n 个元素中取出 m m 个元素并成一组，叫做从 n n 个不同元素中取出 m m 个元素的一个组合。又叫无重复的排列。记作 Cmn C n m 。
明显可以得到计算公式：

Cmn=PmnPmm=n!m!(n−m)! C n m = P n m P m m = n ! m ! ( n − m ) !

例题1

由1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复的数字，并且大于21300的正整数？

解法1：

满足题意的数大致可以分成三类：
万位3，4，5的有 P13×P44 P 3 1 × P 4 4 个。
万位2，千位3，4，5的有 P13×P33 P 3 1 × P 3 3 个。
万位2，千位1的有 P33 P 3 3 个。
由加法原理： P13×P44+P13×P33+P33=96 P 3 1 × P 4 4 + P 3 1 × P 3 3 + P 3 3 = 96

解法2

由1，2，3，4，5组成的没有重复数位的五位数共有 P55 P 5 5 个，其中只有万位数字为1的数不大于21300，这样的数有 P44 P 4 4 个，故符合条件的正整数的个数是

P55−P44=5!−4!=96 P 5 5 − P 4 4 = 5 ! − 4 ! = 96

有重复的排列组合

可重复排列

从 n n 个不同元素中取 m m 个元素(同一元素允许重复取出)，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n n 个不同元素中取 m m 个元素的可重复排列，这种排列的个数是 nm n m ，用乘法原理易证。

可重复组合

从 n n 个不同元素中取 m m 个元素(同一元素允许重复取出)，叫做从 n n 个不同元素中取 m m 个元素的可重复组合，这种组合的个数是 Cmn+m−1 C n + m − 1 m

证明

用 1，2，…，n 1 ， 2 ， … ， n 表示n个不同的元素，那么可重复组合有以下的形式：

{i1,i2,…,im}(1≤i1≤i2≤…≤im≤n). { i 1 , i 2 , … , i m } ( 1 ≤ i 1 ≤ i 2 ≤ … ≤ i m ≤ n ) .

因为允许重复选取，等号可以成立。
将上述每个组合自左向右逐个分别加上：0，1，2，…,(m-1),得到 {j1,j2,…,j,m} { j 1 , j 2 , … , j , m } ，其中 j1=i1,j2=i2+1,j3=i3+2，以此类推 j 1 = i 1 , j 2 = i 2 + 1 , j 3 = i 3 + 2 ， 以 此 类 推 。这些j满足互不相同的条件，所以这是从 n+m−1 n + m − 1 中取 m m 个不同元素的组合。也就是 Cmn+m−1 C n + m − 1 m 。

不全相异的全排列

如果 n n 个元素中分别有 n1,n2,…nk n 1 , n 2 , … n k 个元素相同，所以 ∑ki=1ni=n ∑ i = 1 k n i = n 其不同排列的个数有 n!n1!n2!…nk! n ! n 1 ! n 2 ! … n k !

证明

设符合条件的排列数为 f f ，因为每一类相同元素交换排列顺序，仍然属于同一种排列，如果每一类元素都换成互不相同的元素，则有 n1!×n2!×…×nk! n 1 ! × n 2 ! × … × n k ! 种变化，于是根据乘法原理，可以得出 n n 个不同元素的排列数为 f×n1!×n2!×…×nk! f × n 1 ! × n 2 ! × … × n k ! ，而实际上， n n 个不同元素的排列数应该为 n! n ! ，于是得， f×n1!×n2!×…×nk!=n! f × n 1 ! × n 2 ! × … × n k ! = n ! 所以可求出 f f 。

多组组合

把 n n 个相异元素分为 k(k≤n) k ( k ≤ n ) 个按照一定顺序排列的组，其中第 i i 组有 ni n i 个元素 (i=1,2,…,k) ( i = 1 , 2 , … , k ) 。则不同的组合数有 n!n1!n2!…nk! n ! n 1 ! n 2 ! … n k ! 乘法原理易证。

例题2

从 n>=6 n >= 6 名乒乓球选手中选拔出3对选手准备参加双打比赛，共有多少种不同分法

解法1

从 n n 名选手中选出6名选手有 C6n C n 6 种方法，将这6名选手分成3不同的组，每组2名的分法就是多组组合，但是因为三对选手不计顺序，故所求的方法数应为：

C6n×6!2!×2!×2!3!=n!48×(n−6)! C n 6 × 6 ! 2 ! × 2 ! × 2 ! 3 ! = n ! 48 × ( n − 6 ) !

解法2

从 n n 名选手中找出6有 C6n C n 6 种方法，选出的6人中选出2人配对有 C26 C 6 2 种方法，剩下4人再选出2人配对有 C24 C 4 2 种方法，剩下2配对有1种方法，所以共有：

C6n×C26×C243!=n!48×(n−6)! C n 6 × C 6 2 × C 4 2 3 ! = n ! 48 × ( n − 6 ) !

相异元素的圆排列和项链数

圆排列

将 n n 个不同元素不分首尾排成一个圆，就是圆排列，n个元素的圆排列数有 (n−1)! ( n − 1 ) ! 个。

项链数

将 n n 个珠子用线串成一副项链，则得到的不同项链数当 n=1或2的时候是1 n = 1 或 2 的 时 候 是 1 ，当 n>=3 n >= 3 的时候是 12×(n−1)! 1 2 × ( n − 1 ) ! 。也就是圆排列的一半。

一类不定方程的非负整数解的个数

不定方程 x1+x2+…+xm=n(m,n∈N+) x 1 + x 2 + … + x m = n ( m , n ∈ N + ) 的非负整数解的个数为 Cm−1n+m−1 C n + m − 1 m − 1