莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容,可以用于解决很多组合数学的问题。

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数,数论函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯首先使用μ(n)作为莫比乌斯函数的记号。

莫比乌斯函数是指以下的函数:


在这里,λ(n)是刘维尔函数

莫比乌斯函数是一个数论函数,它同时也是一个积性函数(μ(ab) =μ(a)μ(b), a,b互质 )

当n不等于1时,n的所有因子的莫比乌斯函数值的和为0


莫比乌斯函数完整定义的通俗表达:

1、莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N

2、μ(1)=1

3、当n存在平方因子时,μ(n)=0

4、当n是素数或奇数个不同素数之积时,μ(n)=-1

5、当n是偶数个不同素数之积时,μ(n)=1

莫比乌斯反演的引入

莫比乌斯反演是数论中的重要内容,在许多情况下能够简化运算。我们考虑以下和函数:

d|n意思是d是n的因子
我们需要找到f(n)和F(n)之间的关系。从和函数定义中可以看出:

F(1)=f(1)

F(2)=f(1)+f(2)

F(3)=f(1)+f(2)+f(3)

F(4)=f(1)+f(2)+f(4)

F(5)=f(1)+f(5)

F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)

F(7)=f(1)+f(7)

F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)

F(9)=f(1)+f(3)+f(9)

那么我们就可以推出:

f(1)=F(1)

f(2)=F(2)-F(1)

f(3)=F(3)-F(1)

f(4)=F(4)-F(2)

f(5)=F(5)-F(1)

f(6)=F(6)-F(3)-F(2)-F(1)

f(7)=F(7)-F(1)

f(8)=F(8)-F(4)

f(9)=F(9)-F(3)

从中我们可以看出,若n=p^2(p为质数),那么,F(p)=f(1)+f(p),F(n)=f(1)+f(p)+f(p^2),所以,f(n)=F(P^2)-F(P).

如果我们要函数满足:

那么通过上边推导,我们可以知道μ(p^2)=0所以我们猜测:


莫比乌斯反演定理

设f(n)和g(n)是定义在正整数集合上的两个函数。定义如下:



莫比乌斯函数μ(d)定义

若d=1,那么μ(d)=1

若d=p1p2……pk (k为不同质数,且次数都为一),μ(d)=(-1)^k

其余 μ(d)=0

莫比乌斯反演的性质

  • 性质一 (莫比乌斯反演公式):

  • 性质二:μ(n)为积性函数

  • 性质三:设f是算术函数,它的和函数

是积性函数,那么f也是积性函数

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