抽象代数学习笔记四《群：子群、同构、同态》

学习笔记参考：《近世代数初步》第2版 高等教育出版社——石生明编著
注：本篇笔记根据博主个人数学的掌握情况整理

课后习题
1、$H_1,H_2,\cdots ,H_k,\cdots$ 都是群 $G$ 的子群，证明：
（1）$H_1\cap H_2$ 是子群；
（2）$\bigcap _{i=1}^{\infty }{H}_i$ 是子群；
（3）若 $H_1\subset H_2\subset \cdots \subset H_k\subset H_{k+1}\subset \cdots$ ，则 $\bigcup _{i=1}^{\infty }{H}_i$ 是子群；
2、设 $G$ 是群，令：$$Z(G)=\{a\in G|ag=ga,\forall g\in G\}$$ 则 $Z(G)$ 是 $G$ 的子群，称为 $G$ 的中心；
3、$G$ 是群，$S$ 是 $G$ 的非空子集，令：$$C_G(S)=\{a\in G|as=sa,\forall s\in S\}$$ $$N_G(S)=\{a\in G|aS{a}^{-1}=S\}$$ 则它们都是 $G$ 的子群，其中 $$aS{a}^{-1}=\{as{a}^{-1}|\forall s\in S\}$$ $C_G(S)$ 和 $N_G(S)$ 分别称为 $S$ 在 $G$ 中的中心化子和正规化子；
4、证明正三角形 $A_1{A}_2{A}_3$ 的对称性群与 $S_3$ 同构（将每个对称性变换与它引起的顶点的置换相对应）；
5、$G$ 是群，$S$ 是 $G$ 的非空子集，令：$$H=\{t_1\cdots t_i\cdots t_k|\forall k是正整数,t_i或t_i^{-1}\in S\}$$证明 $H$ 是子群且 $H=⟨S⟩$；
6、群 $G$ 的全部自同构在 $G$ 上变换的乘法下成为群，称为 $G$ 的自同构群，记为 $AutG$ 。

参考答案如下：