本性上确界essential supremum
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本性上确界与本性下确界
数学中， 本性上确界 和本性下确界的概念与上确界和下确界的概念相关，但适用于测度论与泛函分析，它通常处理的命题不是对集合里的所有元素有效，而是几乎处处，即除去零测集。
目录
- 上界 upper bound
- 上确界 supremum
- 本性上确界 essential supremum
- 上确界 supremum
- 定义
- 例子
- 性质
- 参见
- 注释
定义
设 f : X → R f:X\to\mathbb R f:X→R 是定义在集合 X X X上的实值函数，称实数 a a a是 f f f的上界，若 f ( x ) ≤ a , ∀ x ∈ X f(x)\leq a,\forall x\in X f(x)≤a,∀x∈X，即，如果集合
f − 1 ( a , ∞ ) = { x ∈ X : f ( x ) > a } f^{-1}(a,\infty) = \{x\in X:f(x)\gt a\} f−1(a,∞)={x∈X:f(x)>a}
为空。设
U f = { a ∈ R : f − 1 ( a , ∞ ) = ∅ } U_f = \{a\in \mathbb R:f^{-1}(a,\infty) = \emptyset\} Uf={a∈R:f−1(a,∞)=∅}
是 f f f的上界集合，则 f f f的上确界定义为
sup f = inf U f , \sup f = \inf U_f, supf=infUf,
若上界集合非空，否则 sup f = + ∞ . \sup f = +\infty. supf=+∞.
或者，对某些 a ∈ R a\in \mathbb R a∈R 有 f ( x ) ≤ a , ∀ x ∈ X f(x)\leq a,\forall x\in X f(x)≤a,∀x∈X，则 sup f ≤ a . \sup f \leq a. supf≤a.
确界定理：有上（下）界必有上（下）确界。
另外，假设 ( X , Σ ; μ ) (X,\Sigma;\mu) (X,Σ;μ)是测度空间，简单起见，假设函数 f f f是可测的。称数 a a a是 f f f的本性上界，若可测集 f − 1 ( a , ∞ ) f^{-1}(a,\infty) f−1(a,∞) 是零测集，1 即，如果 f ( x ) ≤ a , a . e . x ∈ X . f(x)\leq a,a.e.x\in X. f(x)≤a,a.e.x∈X. 设
U f e s s = { a ∈ R : μ ( f − 1 ( a , ∞ ) ) = 0 } U_f^{ess} = \{a\in \mathbb R: \mu(f^{-1}(a,\infty)) = 0\} Ufess={a∈R:μ(f−1(a,∞))=0}
是本性上界集合，则本性上确界类似地定义为
e s s sup f = inf U f e s s , \mathtt {ess} \sup f = \inf U_f^{ess}, esssupf=infUfess,
若 U f e s s ≠ ∅ U_f^{ess}\neq \varnothing Ufess̸=∅，否则 e s s sup f = + ∞ . \mathtt {ess} \sup f = +\infty. esssupf=+∞.
或者，对某些 a ∈ R a\in \mathbb R a∈R 有 f ( x ) ≤ a , a . e . x ∈ X f(x)\leq a,a.e.x\in X f(x)≤a,a.e.x∈X，则 e s s sup f ≤ a . \mathtt {ess} \sup f \leq a. esssupf≤a.
完全以同样的方式将本性下确界定义为本性下界的上确界，即，
e s s inf f = sup { b ∈ R : μ ( { x : f ( x ) < b } ) = 0 } , \mathtt {ess} \inf f = \sup \{b\in \mathbb R: \mu(\{x: f(x) \lt b\}) = 0\}, essinff=sup{b∈R:μ({x:f(x)<b})=0},
若本性上界集合非空，否则 e s s inf f = − ∞ . \mathtt {ess} \inf f = -\infty. essinff=−∞.
例子
-
实轴上考虑Lebesgue测度及其对应的 σ \sigma σ-代数 Σ . \Sigma. Σ. 由以下公式来定义函数 f f f
f ( x ) = { 5 , if x = 1 − 4 , if x = − 1 2 , otherwise. f(x) = \begin{cases} 5, & \text{if $x=1$} \\ -4, & \text{if $x=-1$} \\ 2, & \text{otherwise.} \end{cases} f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧5,−4,2,if x=1if x=−1otherwise.
函数的上确界（最大值）是5，下确界（最小值）是-4，但却分别仅在集合{1}和{-1}上取得，而它们的测度为零。在其他点处，函数取值为2. 因此，这个函数的本性上确界和本性下确界都是2。 -
考虑函数
f ( x ) = { x 3 , if x ∈ Q arctan x , if x ∈ R ∖ Q f(x) = \begin{cases} x^3, & \text{if $x\in \mathbb Q$} \\ \arctan x, & \text{if $x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q$} \end{cases} f(x)={x3,arctanx,if x∈Qif x∈R∖Q
其中 Q \mathbb Q Q表示有理数。该函数自上到下都是无界的，因此它的上确界和下确界分别是 ∞ \infty ∞和 − ∞ -\infty −∞。然而，从Lebesgue测度的角度来看，有理数集合是测度为零的集合；因此，最重要的是这个集合的补集，其中函数是以 arctan x x x 的形式给出的。因此，本性上确界是π/2，而本性下确界是−π/2. -
考虑函数
f ( x ) = { 1 / x , if x ≠ 0 0 , if x = 0 f(x) = \begin{cases} 1/x, & \text{if $x\neq 0$} \\ 0, & \text{if $x=0$} \end{cases} f(x)={1/x,0,if x̸=0if x=0
则对 ∀ a ∈ R \forall a\in \mathbb R ∀a∈R，有 μ ( { x ∈ R : 1 / x > a } ) ≥ 1 ∣ a ∣ \mu(\{ x\in \mathbb R : 1/x\gt a \}) \ge \frac{1}{\vert a \vert} μ({x∈R:1/x>a})≥∣a∣1， 所以 U f = ∅ U_f=\varnothing Uf=∅且 e s s sup f = + ∞ . \mathtt {ess} \sup f = +\infty. esssupf=+∞.
性质
- 若 μ ( X ) > 0 \mu(X) \gt 0 μ(X)>0，我们有 inf f ≤ e s s inf f ≤ e s s sup f ≤ sup f . \inf f \leq \mathtt {ess} \inf f \leq \mathtt {ess} \sup f \leq \sup f. inff≤essinff≤esssupf≤supf. 若 X X X测度为零，则 e s s sup f = − ∞ \mathtt {ess} \sup f = -\infty esssupf=−∞且 e s s inf f = + ∞ . \mathtt {ess} \inf f = +\infty. essinff=+∞.
- e s s sup ( f g ) ≤ ( e s s sup f ) ( e s s sup g ) \mathtt {ess} \sup (fg) \leq (\mathtt {ess} \sup f)(\mathtt {ess} \sup g) esssup(fg)≤(esssupf)(esssupg) 只须右边两项均非负。
参见
Lp空间
注释
对于不可测函数，定义需要修改，通过假设 f − 1 ( a , ∞ ) f^{-1}(a,\infty) f−1(a,∞) 包含在零测集。或者可以假设测度是完备的 ↩︎