本性上确界essential supremum

@Wikipedia

本性上确界与本性下确界

数学中， 本性上确界 和本性下确界的概念与上确界和下确界的概念相关，但适用于测度论与泛函分析，它通常处理的命题不是对集合里的所有元素有效，而是几乎处处，即除去零测集。

目录

• 上界 upper bound
  • 上确界 supremum
    • 本性上确界 essential supremum

1. 定义
2. 例子
3. 性质

• 参见
• 注释

定义

设 $f:X\to \mathbb{R}$ 是定义在集合$X$上的实值函数，称实数$a$是$f$的上界，若$f(x)\le a,\forall x\in X$，即，如果集合
$$f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}$$
为空。设
$$U_f=\{a\in \mathbb{R}:f^{-1}(a,\infty )=\varnothing \}$$
是$f$的上界集合，则$f$的上确界定义为
$$\sup f=\inf U_f,$$
若上界集合非空，否则 $\sup f=+\infty .$
或者，对某些 $a\in \mathbb{R}$ 有 $f(x)\le a,\forall x\in X$，则 $\sup f\le a.$

确界定理：有上（下）界必有上（下）确界。

另外，假设$(X,\Sigma ;\mu )$是测度空间，简单起见，假设函数$f$是可测的。称数$a$是$f$的本性上界，若可测集 $f^{-1}(a,\infty )$ 是零测集，¹ 即，如果 $f(x)\le a,a.e.x\in X.$ 设
$$U_f^{ess}=\{a\in \mathbb{R}:\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}$$
是本性上界集合，则本性上确界类似地定义为
$$\mathtt{e}\mathtt{s}\mathtt{s}\sup f=\inf U_f^{ess},$$
若 $U_f^{ess}̸=\varnothing$，否则 $\mathtt{e}\mathtt{s}\mathtt{s}\sup f=+\infty .$
或者，对某些 $a\in \mathbb{R}$ 有 $f(x)\le a,a.e.x\in X$，则 $\mathtt{e}\mathtt{s}\mathtt{s}\sup f\le a.$

完全以同样的方式将本性下确界定义为本性下界的上确界，即，
$$\mathtt{e}\mathtt{s}\mathtt{s}\inf f=\sup \{b\in \mathbb{R}:\mu (\{x:f(x)<b\})=0\},$$
若本性上界集合非空，否则 $\mathtt{e}\mathtt{s}\mathtt{s}\inf f=-\infty .$

例子

1. 实轴上考虑Lebesgue测度及其对应的 $\sigma$-代数 $\Sigma .$ 由以下公式来定义函数$f$
   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}5,& \text{if x=1}\\ -4,& \text{if x=−1}\\ 2,& \text{otherwise.}\end{array}$$
   函数的上确界（最大值）是5，下确界（最小值）是-4，但却分别仅在集合{1}和{-1}上取得，而它们的测度为零。在其他点处，函数取值为2. 因此，这个函数的本性上确界和本性下确界都是2。

2. 考虑函数
   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3,& \text{if x∈Q}\\ \arctan x,& \text{if x∈R∖Q}\end{array}$$
   其中$\mathbb{Q}$表示有理数。该函数自上到下都是无界的，因此它的上确界和下确界分别是$\infty$和$-\infty$。然而，从Lebesgue测度的角度来看，有理数集合是测度为零的集合；因此，最重要的是这个集合的补集，其中函数是以 arctan $x$ 的形式给出的。因此，本性上确界是π/2，而本性下确界是−π/2.

3. 考虑函数
   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1/x,& \text{if x̸=0}\\ 0,& \text{if x=0}\end{array}$$
   则对 $\forall a\in \mathbb{R}$，有 $\mu (\{x\in \mathbb{R}:1/x>a\})\ge \frac{1}{|a|}$， 所以$U_f=\varnothing$且$\mathtt{e}\mathtt{s}\mathtt{s}\sup f=+\infty .$

性质

• 若 $\mu (X)>0$，我们有 $\inf f\le \mathtt{e}\mathtt{s}\mathtt{s}\inf f\le \mathtt{e}\mathtt{s}\mathtt{s}\sup f\le \sup f.$ 若$X$测度为零，则$\mathtt{e}\mathtt{s}\mathtt{s}\sup f=-\infty$且 $\mathtt{e}\mathtt{s}\mathtt{s}\inf f=+\infty .$
• $\mathtt{e}\mathtt{s}\mathtt{s}\sup (fg)\le (\mathtt{e}\mathtt{s}\mathtt{s}\sup f)(\mathtt{e}\mathtt{s}\mathtt{s}\sup g)$ 只须右边两项均非负。

参见

L^p空间

注释

---

1. 对于不可测函数，定义需要修改，通过假设 $f^{-1}(a,\infty )$ 包含在零测集。或者可以假设测度是完备的 ↩︎