计算机图论中查找路径算法分析线路布局

-- 以哈密尔顿环(Hamiltun Cycle)作为分析实例

 

作者开发了两套计算机图形历遍算法，一个是不重复路径历遍算法；一个是不重复路径与顶点算法。作者利用第二套算法对布线拓扑结构进行分析，并以155年前哈密尔顿提出的著名哈密尔顿环作为分析实例，展开论述。通过改变其中某两个顶点的路径状态，得出具体的数据，在这些数据的基础上，给出结论。

 

先看哈密尔顿环的具体图形，和作者给出的标号。

 

 

作者先给出正常状态下哈密尔顿环的查找路径结果：

 

只有8 个顶点的盲路： 6

只有9个顶点的盲路：  6

只有 10个顶点的盲路： 12

只有 11个顶点的盲路： 42

只有 12个顶点的盲路： 60

只有 13个顶点的盲路： 108

只有 14个顶点的盲路： 246

只有 15个顶点的盲路： 360 

只有 16个顶点的盲路： 462

只有 17个顶点的盲路： 636

只有 18个顶点的盲路： 630

只有 19个顶点的盲路： 390

 

完整 20个顶点的路径： 162  占总数量的5.192%

 

总共查找出的路径数量： 3120

 

我们以三个数据指标：“完整 20个顶点的路径数量”，“占总数量的百分比”，“总共查找出的路径数量”来评估我们改变图形后的效果。

 

第一个改变：将点v15到v6的通路改成v15到v6的单行线，即只能由v15到v6，禁止v6到v15，我们将挑选v16、v17、v18、v19、v20以及v15和v6作为评估点运行程序后，得出以下结果：

 

	完整 20个顶点的路径数量	总共的路径数量	百分比（%）
v6	108	2080	5.192
v15	162	3120	5.192
v16	108	2600	4.153
v17	110	2306	4.77
v18	106	2410	4.398
v19	112	2450	4.571
v20	123	2551	4.822

 

从数据对比看，改动一条通路为单行线，所造成的结果是整体的完整通路比重下降1个百分点，总体路径却减少18%到33.3%。

 

第二个改变：而我们在原有的基础上，为v15增加一条单行线到v6的话，因为存在了回路查找出的路径将超过20个点，我们依然计入完成路径数目，结果如下：

	完整 20个顶点的路径数量	总共的路径数量	百分比（%）
v6	658	5200	12.65
v15	162	3120	5.192
v16	318	3640	8.73
v17	282	3697	7.627
v18	279	3687	7.567
v19	294	3688	7.971
v20	270	3695	7.307

 

这回可以是大跌眼镜，作为v6来说，为它增加一条到该点的单行线，却演变成增加从该点历遍的总体路径数目，增加67.7%的路径，而增加的完整路径只占12.7%。同时以v6点形成162条回路。占到比重的3.1%。但搜索的代价却要高出4倍之多。

 

从我们日常的经验看，v15应该是最大的收益者，这次依然是不变。

 

而其它点的路径总数增加16.7%到18.5%不等，而完整路径的比重却增加了2%到3.5%不等，但花费的代价却要高出7到5不等。

 

这说明如果将v6作为线路处理的中心点，就再合适不过了。V15的情况却说明一条道理：有时候生活常识是会出问题的！

 

第三个改变：而我们在原有的基础上，为v15增加一条通路线到v6的，因为存在了回路查找出的路径将超过20个点，我们依然计入完成路径数目，结果如下：

	完整 20个顶点的路径数量	总共的路径数量	百分比（%）
v6	1658	7280	22.77
v15	1658	7280	22.77
v16	1326	5674	23.37
v17	1392	6072	22.92
v18	1344	5860	22.94
v19	1360	5914	23.00
v20	1377	6008	22.92

 

增加一条通路，产生效果巨大的改变，v6，v15路径总数增加133%，完整路径比重上升到22%，但不要高兴得太早，回路的比重上升到9.05%。

 

其它点的情况都差不多。

 

第四个改变：我们再做一个“飞线”的实验，原有的图形关系不变，从v20飞线一条通路到最远的v1，结果如下：

	完整 20个顶点的路径数量	总共的路径数量	百分比（%）
v6	276	5180	5.328
v15	222	5102	4.351
v16	276	5188	5.32
v17	230	5100	4.509
v18	218	5114	4.263
v19	274	5128	5.343
v20	177	3990	4.436

 

结果目不忍睹，路径总数增加66%，可完整的路径比重却上升的不到1%，下降的却有1%。搜索代价提高了66%。

 

生活常识又骗了我们一次，增加通路未必是好事，关键要对路。