背包问题的总结

普通的0-1背包

（1）已知背包容量，物品的数量、体积、价值求背包所装物品的最大价值的

bag

题目描述
一个旅行者有最多能装m(0

输入

输入三行。
第一行输入m，n。
第二行输入n件物品的重量W1,W2,…,Wn。
第三行输入n件物品的价值C1,C2,…,Cn。

输出

输出一行，表示最大总价值。

样例输入

10 5
2 4 10 11 12
1 3 8 6 5

样例输出

8

二维写法

#include 
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=260;
int w[25],c[25][50],v[25];
int main(){
    int m,n;
    scanf("%d %d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&w[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&v[i]);
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            if(i==n){
                if(j<w[i]){
                    c[i][j]=0;
                }
                else{
                    c[i][j]=v[i];
                }
            }
            else{
                if(j<w[i]){
                    c[i][j]=c[i+1][j];
                }
                else{
                    c[i][j]=max(c[i+1][j],c[i+1][j-w[i]]+v[i]);
                }
            }
        }
    }
    if(c[1][m]==0){
        printf("NO ANSWER！\n");
    }
    else{
        printf("%d\n",c[1][m]);
    }
}

一维写法

#include 
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=260;
int w[25],c[10005],v[25];
int main(){
    int m,n,ans=0;
    scanf("%d %d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&w[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&v[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=w[i];j--){//从后面往前面装避免重复装一个物品（前面往后面装）
            c[j]=max(c[j],c[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    ans=c[m];
    if(ans==0){
        printf("NO ANSWER！\n");
    }
    else{
        printf("%d\n",ans);
    }
}

背包路径打印

（a）:一维对应的打印路径

//多用一个数组path[i][j]表示到第i个物品容量为j这个状态是否装了第i个物品
for(int i=n;i>=1;--i){ //后面向前面打印
	if(path[i][m]){//装了第i个物品
		 m-=w[i]; 
		 printf("%d ",i); 
	}
 }

（b）二维对应的打印路径

//倒推法
for(int i=1;i<n;i++){
        if(c[i][m]==c[i+1][m]);
        else{
            printf("%d ",i);
            m-=w[i];
        }
    }
    if(c[n][m])printf("%d\n",n);

完全背包（物品的数量没有限制）

湫湫系列故事——减肥记I

题目描述
　对于吃货来说，过年最幸福的事就是吃了，没有之一！
　　但是对于女生来说，卡路里（热量）是天敌啊！
　　资深美女湫湫深谙“胖来如山倒，胖去如抽丝”的道理，所以她希望你能帮忙制定一个食谱，能使她吃得开心的同时，不会制造太多的天敌。
当然，为了方便你制作食谱，湫湫给了你每日食物清单，上面描述了当天她想吃的每种食物能带给她的幸福程度，以及会增加的卡路里量。

输入

输入包含多组测试用例。
　　每组数据以一个整数n开始，表示每天的食物清单有n种食物。
　　接下来n行，每行两个整数a和b，其中a表示这种食物可以带给湫湫的幸福值（数值越大，越幸福），b表示湫湫吃这种食物会吸收的卡路里量。
　　最后是一个整数m，表示湫湫一天吸收的卡路里不能超过m。
　　[Technical Specification]
　　1. 1 <= n <= 100
　　2. 0 <= a,b <= 100000
　　3. 1 <= m <= 100000

输出

对每份清单，输出一个整数，即满足卡路里吸收量的同时，湫湫可获得的最大幸福值。

样例输入

3
3 3
7 7
9 9
10
5
1 1
5 3
10 3
6 8
7 5
6

样例输出

Sample Output
10
20

#include 
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
int dp[maxn],v[105],w[105];
int main(){
    int a,b,m,n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d %d",&v[i],&w[i]);
        }
        scanf("%d",&m);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=w[i];j<=m;j++){//上一个一维是后面往前面推避免重复，这个前面往后面推就是完全背包问题
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[m]);
    }
}

多重背包问题（明确物品的数量）

湫湫系列故事——减肥记I

题目描述
　有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出

输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0 0 0 提示：
本题考查多重背包的二进制优化方法。

样例输入

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

样例输出

Sample Output
10

普通的多重背包（无二进制优化）

#include 
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=260;
int w[25],dp[10005],v[25];
int main(){
    int m,n,ans=0,a,b,c;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
        if(c*a>=m){//数量足够将背包填满->完全背包问题
            for(int j=a;j<=m;j++){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-a]+b);
            }
        }
        else{
            while(c--){//衍生成c个数量的0-1背包
                for(int j=m;j>=a;j--){
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-a]+b);
                }
            }
        }
    }
    if(dp[m]==0){
        printf("NO ANSWER！\n");
    }
    else{
        printf("%d\n",dp[m]);
    }
}

多重背包的二进制优化

#include 
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=260;
int w[25],dp[10005],v[25];
int main(){
    int m,n,ans=0,a,b,c;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
        if(c*a>=m){
            for(int j=a;j<=m;j++){//完全背包问题
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-a]+b);
            }
        }
        else{//二进制优化
            int k=1;
            while(k<=c){
                for(int j=m;j>=k*a;j--){
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*a]+k*b);
                }
                c-=k;
                k=k*2;
            }
            for(int j=m;j>=c*a;j--){//最后的剩下c个数量的
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-c*a]+c*b);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[m]);
}

多组背包问题

直达通天路·小 A 历险记第二篇

题目描述
　自 0101 背包问世之后，小 A 对此深感兴趣。一天，小 A 去远游，却发现他的背包不同于 0101 背包，他的物品大致可分为 kk 组，每组中的物品相互冲突，现在，他想知道最大的利用价值是多少。

输入

两个数 m,nm,n，表示一共有 nn 件物品，总重量为 mm。
1≤m,n≤1000。

输出

一个数，最大的利用价值。

样例输入

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

样例输出

10

#include 
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1005;
int w[maxn],v[maxn];
int pre[maxn][maxn];//[代表组数][组数对应的数量]=输入的组号
int dep[maxn];
int num[maxn];//改组的数量
int main(){
    int m,n,k,ans=0;;
    scanf("%d %d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d %d %d",&w[i],&v[i],&k);
        pre[k][++num[k]]=i;
    }
    for(int r=1;r<1005;r++){//代表组数
        for(int j=m;j>0;j--){
            for(int i=1;i<=num[k];i++){
                if(j>=w[pre[r][i]]){
                    dep[j]=max(dep[j],dep[j-w[pre[r][i]]]+v[pre[r][i]]);
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dep[m]);
}