javascript 数据结构专题--二叉树概览

一 定义

树

树是用来模拟具有树状结构性质的数据集合，是n（n>=0)个结点的有限集，n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：

1）"有且仅有"一个特定的称为根（Root）的结点；

2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个"互不相交"的"有限集(数量没有限制)"T1、T2、…、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
。

• 结点：包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息,树最基本的数据结构单元。
• 节点的度：结点拥有的子树数目称为结点的度
• 叶子节点：终端结点，没有子树的结点或者度为零的结点
• 分支结点：也称为非终端结点，度不为零的结点称为非终端结点
• 结点的层次：从根结点开始，假设根结点为第1层，根结点的孩子结点为第2层，依此类推，如果某一个结点位于第L层，则其孩子结点位于第L+1层
• 树的深度：树中结点的最大层次数（根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数）
• 有序树：如果树中各棵子树的次序是有先后次序，则称该树为有序树
• 无序树：如果树中各棵子树的次序没有先后次序，则称该树为无序树
• 森林：由m（m≥0）棵互不相交的树构成一片森林（把一棵非空的树的根结点删除，则该树就变成了一片森林，森林中的树由原来根结点的各棵子树构成）

二叉树

二叉树是树最简单、应用最广泛的种类。

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，空集为空二叉树，通常由根节点，分支节点，叶子节点组成，每个节点最多只有两个分支节点。而每个分支节点也常常被称作为一棵子树，分为“左子树”和“右子树”。

• 根节点：二叉树最顶层的节点
• 分支节点：除了根节点以外且拥有叶子节点
• 叶子节点：除了自身，没有其他子节点

二 性质

1、在二叉树的第i层上，至多有2^i-1个节点

i=1时，只有一个根节点，2^(i-1) = 2^0 = 1

2、深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点, 反过来具有n个节点的完全二叉树深为log2x+1（其中x表示不大于n的最大整数）

i=2时，2^k-1 = 2^2 - 1 = 3个节点

3、对任何一棵二叉树T，如果总结点数为n0，度为2(子树数目为2)的节点数为n2,则n0=n2+1

4、若对一棵有n个节点的完全二又树进行顺序编号（1≤i≤n），那么，对于编号为i（i≥1）的节点

• 当i=1时，该节点为根，它无双亲节点 [6] 。
• 当i>1时，该节点的双亲节点的编号为i/2 [6] 。
• 若2i≤n，则有编号为2的左孩子，否则没有左孩子 [6] 。
• 若2+1≤n，则有编号为2i+1的右孩子，否则没有右孩子 [6

三 树和二叉树的三个主要差别

1、树的节点个数至少为1，而二叉树的节点个数可以为0

2、树中节点的最大度数(节点数量)没有限制,而二叉树的节点的最大度数为2

3、树的节点没有左右之分，而二叉树的节点有左右之分，左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树

四 二叉树分类

一般二叉树、完全二叉树、满二叉树、线索二叉树、霍夫曼树、二叉排序树、平衡二叉树、红黑树、B树
。一般我们需要了解完全二叉树(complete binary tree)和满二叉树(full binary tree)。

平衡二叉树：左右子树深度之差大于1

满二叉树：一棵深度为k且有2^k - 1个节点的二叉树称为满二叉树

完全二叉树：完全二叉树是指最后一层左边是满的，右边可能满也可能不满，然后其余层都是满的二叉树称为完全二叉树(满二叉树也是一种完全二叉树)

五 二叉树相关操作算法

1、二叉树遍历

重点中的重点，最好同时掌握递归和非递归版本，递归版本很容易书写，但是真正考察基本功的是非递归版本。

• 二叉树的中序遍历
• 二叉树的前序遍历
• 二叉树的后序遍历

根据前序遍历和中序遍历的特点重建二叉树，逆向思维，很有意思的题目

2、二叉树的对称性

• 对称的二叉树
• 二叉树的镜像

3、二叉搜索树

二叉搜索树是特殊的二叉树，考察二叉搜索树的题目一般都是考察二叉搜索树的特性，所以掌握好它的特性很重要

• 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
• 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
• 任意节点的左、右子树也需要满足左边小右边大的性质

3、二叉树的深度

二叉树的深度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数

平衡二叉树：左右子树深度之差大于1

• 二叉树的最大深度
• 二叉树的最小深度
• 平衡二叉树

4、 二叉树基本操作

创建、插入、查找、删除、遍历、深度
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