数据结构基础（线性表+栈+队列+树+图）

线性表：顺序表示+链式表示

一、根据数据元素之间分为4类基本结构：
（1）集合（2）线性结构（3）树形结构（4）图状结构或网状结构

typedef int Status;
二、双向链表中插入一个结点时指针的变化情况：

s -> prior = p -> prior;
p -> proir -> next = s;
s -> next = p;
p -> proir = s;

三、栈的应用：表达式求值

• 计算过程：expression = 3*(7-2) operandStack, operatorStack;
• 读到字符0-9，operandStack进栈
• 读到±*/ && operatorStack为空，operatorStack进栈
• 读到 “(” || 优先级比栈顶优先级高的字符，operatorStack进栈
• 读到优先级不如栈顶优先级的，计算
• 读到 ”）“ 并且栈顶是 ”（“，operatorStack出栈
• 读到字符串末尾 && operatorStack为空，计算结束
• operandStack.top()就是计算结果。

#include 
#include 
#include 
#include "ImprovedStack.h"

int priority(char c)
{
    int k;
    switch (c)
    {
        case '*':k = 2; break;
        case '/':k = 2; break;
        case '+':k = 1; break;
        case '-':k = 1; break;
        case '(':k = 0; break;
        case ')':k = 0; break;
        default:k = -1; break;
    }
    return k;
}

void processAndOperator(Stack& operandStack,Stack& operatorStack){
    double result;
    int op1=operandStack.pop();
    int op2=operandStack.pop();
    switch(operatorStack.pop()){
        case '+':
            result=op1+op2;
            cout<priority(operatorStack.peek())))
        {
            operatorStack.push(c);
            i++;
        }
        else if(c==')'&&operatorStack.peek()=='(')
        {
            operatorStack.pop();
            i++;
        }
        else if(priority(c)<=priority(operatorStack.peek()))
        {
            processAndOperator(operandStack,operatorStack);
        }
    }
    return operandStack.pop();
}

int main(){
    string expression;
    cout<<"Enter an expression: ";
    while(getline(cin,expression)){
            cout<

四、广义表

• LS = （a1, a2, a3,…an） 第一个元素a1是表头，其余元素组成的表（a2, a3,…an）是LS的表尾。
• E= （a, E）这是一个递归的表，长度是2。
  例题：
  （1） A = ();
  (2) B =(e)
  (3) C = (a,(b,c,d))
  (4) D = (A ,B,C)
  (5) E =(a,(E))
  

五、树和二叉树

• 二叉树的性质：
• 在二叉树第 i 层最多有2的（i-1）次方个结点。
• 深度为k的二叉树最多有2的k次方-1个结点。
• 任何一颗二叉树T，如果其终端结点数是n0,度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1;
• 满二叉树：一颗深度为k且有2的k次方-1个结点的二叉树
• 完全二叉树：深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应，称为完全二叉树。
• 具有n个结点的完全二叉树的深度：Log2(n)(以2为底n的对数)向下取整+1；
  

六、二叉树的遍历

先序遍历：根，左子树，右子树
中序遍历：左子树，根，右子树
后序遍历：左子树，右子树，根
按层遍历：从根开始，依次向下，对于每一层从左向右遍历。
二叉树的非递归遍历：借助栈来实现
（1） 非递归先根遍历二叉树

• 当栈不为空 || 当前节点不为空，执行操作：
• 从根节点开始，输出当前结点；
• 依次输出树中最左端的节点，并入栈。
• 当节点为空停止入栈，取栈顶元素为当前节点并出栈，如果当前节点有右子树，则遍历其右子树。

void PreorderPrint(SearchBTree T)       // 先序根(序)遍历二叉树并打印出结点值
{
    if (T == nullptr)
    {
        cout << "Empty tree!";
        exit(1);
    }
    Stack S = new StackNode;        // 借助栈来实现
    initStack(S);
    TreeNode* pT = T;       // 创建临时结点指向根节点
    while (pT || !isEmpty(S))           // 当结点不为空或者栈不为空执行循环
    {
        if (pT)                         // 当pT不为空
        {
            Push(S, pT);                // pT入栈
            cout << pT->data << " ";    // 打印当前结点
            pT = pT->left;              // pT移动指向其左孩子
        }
        else
        {       // pT为空，则获取栈顶元素，并出栈
            pT = getTop(S);
            Pop(S);            // 若pT为空表示左子树的左孩子全部遍历完，依次出栈
            pT = pT->right;       // 当左孩子及根结点遍历完之后，开始遍历其右子树
        }
    }
    cout << endl;
    delete S;
}

（2）非递归中根遍历二叉树

• 当栈不为空 || 当前节点为不为空，执行操作：
• 依次访问左结点入栈，但不输出。当节点为空，则停止入栈。
• 访问栈顶元素作为当前节点并出栈，如果当前节点有右子树，则遍历访问其右子树，如果右子树为空，则又进入循环，输出栈顶元素并出栈，再获取右子树。

void InorderPrint(SearchBTree T)        // 中根(序)遍历二叉树并打印出结点值
{
    if (T == nullptr)
    {
        cout << "Empty tree!";
        exit(1);
    }
    Stack S = new StackNode;        // 借助栈来实现
    initStack(S);
    TreeNode* pT = T;       // 创建临时结点指向根节点
    while (pT || !isEmpty(S))           // 当结点不为空或者栈不为空执行循环
    {
        if (pT)                         // 当pT不为空
        {
            Push(S, pT);                // pT入栈
            pT = pT->left;              // pT移动指向其左孩子
        }
        else
        {       // pT为空，则
            pT = getTop(S);
            Pop(S); cout << pT->data << " ";    // 若pT为空表示左子树的左孩子全部遍历完，依次出栈并打印
            pT = pT->right;             // 当左孩子及根结点遍历完之后，开始遍历其右子树
        }
    }
    cout << endl;
    delete S;
}

（3）非递归后根遍历二叉树

• 非递归后根遍历相比前两个有点麻烦，需要引入一个中间变量标记已经访问节点。 当栈不为空或者当前节点为不为空，执行操作：
• 依次将根节点及其左子树的左端节点入栈，但不进行访问，当节点为空，停止入栈。
• 取栈顶元素作为当前节点，如果当前节点的右孩子（右子树）不为空且其右孩子不是上一次访问的节点。则当前节点变为其右子树，遍历其右子树。如果当前节点的右孩子为空或者其右孩子已经被访问，则访问当前节点，标记当前节点为已访问节点，出栈。将当前节点置为空（此时右孩子访问过了），继续取栈顶元素（为了访问根节点）。

void PostorderPrint(SearchBTree T)      // 先根(序)遍历二叉树并打印出结点值
{
    if (T == nullptr)
    {
        cout << "Empty tree!";
        exit(1);
    }
    Stack S = new StackNode;        // 借助栈来实现
    initStack(S);

    TreeNode* pT = T;       // 创建临时结点指向根节点
    TreeNode* qT = nullptr;

    while (pT || !isEmpty(S))           // 当结点不为空或者栈不为空执行循环
    {
        if (pT)                         // 当pT不为空
        {
            Push(S, pT);                // pT入栈
            pT = pT->left;              // pT移动指向其左孩子
        }
        else
        {
            pT = getTop(S);         // 取栈顶元素作为当前结点
            if (pT->right && pT->right != qT)   // 若当前节点有右孩子且不是上一次已经被访问的结点
            {
                pT = pT->right;     // 指向其右孩子
            }
            else
            {                       // 若当前结点没有右孩子或者未被访问，则
                Pop(S);             // 出栈
                cout << pT->data << " ";    // 访问当前结点的数据
                qT = pT;                    // 令pT记录当前结点，用于稍后判断是否已经被访问过
                pT = nullptr;               // 将当前结点赋值为空
            }
                // 当左孩子及根结点遍历完之后，开始遍历其右子树
        }
    }
    cout << endl;
    delete S;
}

（4）按层遍历

• 初始时，根结点入队列
• 然后，while循环判断队列不空时，使用poll（）方法获取对头结点，输出它，并把它的所有孩子结点入队列。

public void levelTraverse(BinarySearchTree tree){
        levelTraverse(tree.root);
    }
    private void levelTraverse(BinaryNode root){
        if(root == null)
            return;
        
        Queue> queue = new LinkedList<>();//层序遍历时保存结点的队列
        queue.offer(root);//初始化
        while(!queue.isEmpty()){
            BinaryNode node = queue.poll();//获取对头元素并删除
            System.out.print(node.element + " ");//访问节点
            if(node.left != null)
                queue.offer(node.left);
            if(node.right != null)
                queue.offer(node.right);
        }
    }

七、森林与二叉树

森林中的每棵树先变成二叉树，然后再连接起来。

八、Huffman树及其应用

• Huffman树，又称最优树，是一类带权路径长度最短的树。
• 树的路径长度：根结点到每一个结点的路径长度之和。
• 结点的带权路径长度 = 该结点到树根的路径长度 * 结点上权
• 带权路径长度WPL最小的二叉树称为最优二叉树或Huffman树

1.构造Huffman树: Huffman算法

（1）对权值进行排序，树的集合为F
（2）选择最小的两个权值作为左右子树构建一个新的二叉树，
根节点的权值是左右子树结点权值之和。
（3）删除这两棵树，将新生成的二叉树添加到F中。
（4）一直重复，（2）（3），直到F中只有一棵树为止。
Huffman编码：左0右1

WPL = 71 + 52 + 23 + 43 = 35
九、图

1.图的存储结构：邻接矩阵+邻接表

（1）邻接矩阵

• 用两个数组分别存储数据元素（顶点）信息+数据元素之间的关系信息

（2）邻接表

• 邻接表是图的一种链式存储结构，表结点+头结点
• 每个表结点由3个域组成，其中邻接点域（adjvex）指示与顶点vi邻接的点在图中的位置，链域（nextarc）知识下一条边或弧的结点，info存储信息，如权值等。
• 每个链表上有一个头结点，由链域（firstarc）,指向链表中第一个结点，数据域（data）
  头结点 表结点
  
  2.图的遍历

（1）深度优先搜索DFS，类似于树的先根遍历。

深度优先搜索（DFS）：v1 -> v2 -> v4 ->v8 -> v5 -> v3 -> v6 -> v7

(2)广度优先搜索（BFS），类似于树的按层遍历的过程

广度优先搜索（BFS）序列：v1 -> v2 -> v3 -> v4 -> v5 -> v6 -> v7 -> v8

3.最小生成树

构造连接网的最小代价生成树（简称为最小生成树）问题，一颗生成树的代价就是树上各边的代价之和。Prim算法+Kruskal算法
（1）Prim算法

• N = （V,(E)）；TE：最小生成树中边的集合。 V：所有顶点的集合
• 初始化：TE={}， U={u0} (u0∈V)；
• 重复执行以下操作：
  在所有的u∈U，v∈V-U的边（u，v）∈E中找权值最小的边(u0,v0)，加入TE中，同时vo并入集合U中，直到U=V为止。
• 此时TE中有n-1条边， T={V，{TE}}为N的最小生成树。
  
• 假设网中有n个结点，Prim算法时间复杂度是O(n²），与边数无关，适合求边稠密的网的最小生成树。
• Kruskal算法刚好相反，设变数是e，它的实践复杂度O（eloge），与结点数无关，适合求边稀疏的网的最小生成树。

（2）Kruskal算法

• 假设连通网N=（V，{E}），令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而没有边的非连通图T=（V，{}），图中每个顶点自成一个联通分量。
• 在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。
• 依次类推，直到T中所有顶点都在同一连通分量上为止。
  

4.有向无环图及其应用
一个无环的有向图称为：有向无环图，简称DAG（directed acycline graph）图
应用：拓扑排序+关键路径

（1）拓扑排序

• 由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称为拓扑排序。
• 偏序：若集合X上的关系R是自反的、反对称的和传递的，则称R是集合X上的偏序关系
• 全序：设R是集合X上的偏序，如果对于每个x,y∈X，必有xRy或有yRx，则称R是集合X上的全序关系。
• 直观来看，偏序指集合中仅有部分成员之间可比较（部分有序），而全序指集合中全体成员之间均可比较（全体有序）。
  
• 左图按照正常遍历那么有2种路径，分别为1234,1324。其中1始终在2，3遍历之前，2和3始终在4之前，2和3之间无法判断谁前谁后，所以这就是偏序。
• 再看右图在2和3之间加了一个指向，由2指向3，所以路线只有1234，所以它是全序。

AOV网中的拓扑排序算法

• AOV网（activity on vertex）：顶点表示活动，弧表示活动间的优先关系的有向图
• 在有向图中选一个没有前驱的顶点并输出(入度为0的点)
• 在图中删除该顶点和所有以它为尾的弧（所有以该顶点出发的箭头）
• 重复上述两步，直到全部顶点都已输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明有向图中存在环。
• 拓扑排序序列有很多种，下图只是其中一种。
  

(2)AOE中的关键路径
AOE网(activity on edge)：边表示活动的网。AOE网是一个带权的有向无环图，其中，顶点表示事件，弧表示活动，权表示活动持续的事件。
路径长度最长的路径叫做关键路径。

5.最短路径问题 ：迪杰斯特拉（DijKstra）算法
给定带权有向图G和源点v，求从v到G中其余各顶点的最短路径
（1）初始化时，S只含有源节点；
（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）；
（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源节点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值是顶点k的距离加上k到u的距离；
（4）重复步骤（2）和（3），直到所有顶点都包含在S中。