完全背包问题

问题：

有n个重量和价值分别为wi，vi的物品，从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值
1≤n≤100

1≤wi，vi≤100

1≤W≤10000

思考：

其实这个问题01背包问题的区别在与，这里的每个物品都是可以重复取的。而01背包问题就只能取一次；

在原01背包问题中:

递推式为： dp [ i ] [ j ] = max( dp[ i-1 ] [ j - weight [ i ] ] + value [ i ] , dp[ i-1 ] [ j ] )

式子的含义为 ： 当我背包的容量为 J 时，我是否取第 i 个物品

（1）如果取： **dp[  i-1 ] [ j - weight [ i ] ] + value [ i ]** ： 
			背包要放入物品 **i** ， 那么背包必须有容纳得下 **i** 物品的空间 ，
			所以前一状态背包用量有 ：**[ j - weight [ i ]  ]** ， 
			既然我的物品只能取一次，所以  **[ i - 1 ]** (过度回取第 i- 1 号物品 的情况，保证i 号物品 只被取一次)， 才有此式子。
 (2) 如果不取，那么就是直接返回前状态 ： dp[ i-1 ] [ j ] 

那么ok， 我们现在想一想，如果我可以反复取 i 号物品（在容量J 允许的情况下） ，
那么如果我取了 i 号物品 一次后， 我就不需要过度回 取 i- 1 号物品的 状态了 。
因为假设取了一次之后，背包容量还可以再一次纳入此物品，那么 只需要在我取了第一次的基础上，在加一次就ok 啦。而第一次取得记录已经被记录入 dp [ i ] [ j - weight [ i ] ] + value[ i ] （为什么不是 i-1 ？？？ -----已经说了：可以多次取，不需要过度回 i-1 的状态来保证只取一次）了。

所以 最 终 结 论 完全背包问题 的 递 推 式 ：
dp[ i ] [ j - weight [ i ] ] + value [ i ] , dp[ i-1 ] [ j ]

举例：

物品	价值	重量
物品1	4	3
物品2	5	4
物品3	3	2

容量vol = 7；
(直接跳到允许放入的时候)
1） dp [ 1 ] [ 3 ] = max( dp[ i ] [ 3-3 ] + value [ 1 ] , dp [ 0 ] [ 3 ] )
==> dp [1] [3] = max ( 0 + 4 , 0)

2）dp [ 1 ] [ 4 ] = max( dp[ 1 ] [ 4-3 ] + value [ 1 ] , dp [ 0 ] [ 4 ] )
==> dp [1]\ [4] = max ( 0 + 4 , 0)

3）dp [ 1 ] [ 5 ] = max( dp[ 1 ] [ 5-3 ] + value [ 1 ] , dp [ 0 ] [ 5 ] )
==> dp [1] [5] = max ( 0 + 4 , 0)

!!!重点来了
4）dp [ 1 ] [ 6 ] = max( dp[ 1 ] [ 6-3 ] + value [ 1 ] , dp [ 0 ] [ 6 ] )
dp [ 1 ] [ 6 ] = max( dp[ 1 ] [ 3 ] + value [ 1 ] , dp [ 0 ] [ 6 ] )
==> dp [1] [6] = max ( 4 + 4 , 0)
！！是不是在原来已经放了物品1的基础上又放了物品！！

如果是01背包问题就是:
dp [ 1 ] [ 6 ] = max( dp[ 1-1 ] [ 6-3  ]  + value [ 1 ]   , dp [ 0 ] [ 6 ] ) 
dp [ 1 ] [ 6 ] = max( dp[ 0 ] [ 3 ]  + value [ 1 ]   , dp [ 0 ] [ 6 ] ) 
==>  dp [1] [6]  = max（0 + 4  ,  0)

代码

#include 
using namespace std;

int main()
{
	int n;	
	int vol ;
	
	cin>>n;
	int value[n]={0};
	int weight[n]={0};
	int dp[10][10] ={0};
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>value[i];	
	}
	
	for(int j=1;j<=n;j++)
	{
		cin>>weight[j];
	}
	
	cin>>vol;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=vol;j++)
		{
			if(weight[i]<=j)
			{
				dp[i][j] = max(dp[i][j - weight[i]] + value[i], dp[i-1][j]);
			}
			else
			{
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
			}
			
		}
	 }
	 for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=vol;j++)
		{
			cout<

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[简书] 01背包问题

~第一次写博，可能很罗嗦，也可能有错误，欢迎指点，谢谢亲故

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