算法之《动态规划》练习解析

动态规划概念篇

定义：动态规划是分治思想的延伸，通俗一点来说就是大事化小，小事化无的艺术。通过拆分问题、定义问题状态和状态间的关系，让问题用递推的方式得到结局；
特点和考虑维度：
①把原来的问题分解成了几个相似的子问题。
② 所有的子问题都只需要解决一次。
③ 储存子问题的解。
动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移方程的定义
动规一般都需要和数组搭配使用
动态规划问题一般从以下四个角度考虑：
状态定义、状态间的转移方程定义、状态的初始化、 返回结果
适用场景：最大/最小值 、可行不可行、是不是、方案个数等

个人看法：其实这些概念我感觉看看就好，因为在你没有做很多动规题之前，再看这些概念也是纸上谈兵，也不会对动规有很好的理解和掌握，只有做的多了，自不然就明白动规是咋回事，也就会用了；emmm,我滚去刷题了，我会把题目链接附上，大家感兴趣可以去做一下，毕竟实践出真知哈

实际练习篇

1、斐波那契数列

题目链接：牛客网剑指offerJZ7；现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0，第1项是1）
解析：这个是最简单也是最经典的动规问题，拿上面的概念去套，要求第n个，相似的子问题，就是需要知道第n项的前两个，他们之间可以递推，

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n<=0){
            return 0;
        }
        int arr[]=new int[n+1];//保存子问题的解
        arr[0]=0;//这两个就是状态的初始化
        arr[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2];//状态转移方程
        }
        return arr[n];
    }
}

2、牛妹的蛋糕

题目链接：牛客网-牛牛吃蛋糕；众所周知，牛妹非常喜欢吃蛋糕。第一天牛妹吃掉蛋糕总数三分之一（向下取整）多一个，第二天又将剩下的蛋糕吃掉三分之一多一个，以后每天吃掉前一天剩下的三分之一多一个，到第n天准备吃的时候只剩下一个蛋糕。牛妹想知道第一天开始吃的时候蛋糕一共有多少呢？
解析：最后一天时剩一个，从最后一天往前推，找递推公式，分析题意，假设今天有蛋糕y个，前一天有x个。则y = x*2/3-1，所以就能得出x=3(y+1)/2。

import java.util.*;
public class Solution {
    public int cakeNumber (int n) {
        if(n==1){
            return 1;
        }
        int sum=1;//初始值
        for(int i=n;n>1;n--){//从第n天开始往前推
            sum=3*(sum+1)/2;
        }
        return sum;
    }
}

3、连续子数组的最大和

题目链接：牛客网-剑指offer原题：{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。给一个数组，返回它的最大连续子序列的和，你会不会被他忽悠住？(子向量的长度至少是1)
解析：从第一个开始，每往进加一个就要去判断现在的总和跟没加之前相比哪个大；

public class Solution {
    public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
        int result=array[0];//保留当前最大值
        int max=array[0];//包含arr[i]的连续数组最大值
        for(int i=1;i

4、单词分割

题目链接：牛客网-单词分割；给定一个字符串s和一组单词dict，判断s是否可以用空格分割成一个单词序列，使得单词序列中所有的单词都是dict中的单词（序列可以包含一个或多个单词）。
例如：给定s=“leetcode”；dict=[“leet”, “code”]。返回true，因为"leetcode"可以被分割成"leet code".
解析：分解成子问题就是数组中后面的包含在内，那位于前面的一定要包含在内，所以我们就需要去判断每一个是否包含在内；

import java.util.Set;
public class Solution {
    public boolean wordBreak(String s, Set dict) {
        boolean[] arr=new boolean[s.length()+1];
        //用boolean类型的数组去记录单个的是否被包含
        arr[0]=true;//假设一个初始值
        for(int i=1;i<=s.length();i++){
            for(int j=i-1;j>=0;j--){
                if(arr[j]&&dict.contains(s.substring(j,i))){
                    arr[i]=true;
                    break;
                }
            }
        }
        return arr[s.length()];
    }
}

5、机器人走方格

题目链接：牛客网-机器人走方格；一个机器人在m×n大小的地图的左上角（起点，下图中的标记“start"的位置）。机器人每次向下或向右移动。机器人要到达地图的右下角。（终点，下图中的标记“Finish"的位置）。
可以有多少种不同的路径从起点走到终点？

解析：划分为子状态就是从(0,0)到达(1,0),(1,1),(2,1),…(m-1,n-1)的路径数；F(i,j): 从(0,0)到达F(i,j)的路径数
状态递推：F(i,j) = F(i-1,j) + F(i,j-1)

import java.util.*;
public class Solution {
    public int uniquePaths (int m, int n) {
        if(m==0||n==0)
            return 0;
        int[][] arr=new int[m][n];
        for(int i=1;i

6、01背包问题

题目链接：背包问题，笔试还是很常见的；有 n 个物品和一个大小为 m 的背包. 给定数组 A 表示每个物品的大小和数组 V 表示每个物品的价值。问最多能装入背包的总价值是多大?
样例 1:
输入: m = 10, A = [2, 3, 5, 7], V = [1, 5, 2, 4]
输出: 9
解释: 装入 A[1] 和 A[3] 可以得到最大价值, V[1] + V[3] = 9
解析：
F(i, j)是前i个物品放入大小为j的背包中所获得的最大价值
状态递推：对于第i个商品，有一种例外，装不下，两种选择，放或者不放； 如果装不下：此时的价值与前i-1个的价值是一样的
F(i,j) = F(i-1,j)
如果可以装入：需要在两种选择中找最大的
F(i, j) = max{F(i-1,j), F(i-1, j - A[i]) + V[i]}
F(i-1,j): 表示不把第i个物品放入背包中， 所以它的价值就是前i-1个物品放入大小为j的背包的最大价值
F(i-1, j - A[i]) + V[i]：表示把第i个物品放入背包中，价值增加V[i],但是需要腾出j - A[i]的大小放
第i个商品
初始化：第0行和第0列都为0，表示没有装物品时的价值都为0
F(0,j) = F(i,0) = 0
返回值：F(n,m)

public class Solution {
    public int backPackII(int m, int[] A, int[] V) {
        // write your code here
        int len=A.length;
        int[][] maxValue=new int[len+1][m+1];
        for(int i=0;i<=num;i++){//进行初始化
            maxValue[i][0]=0;
        }
        for(int i=1;i<=num;i++){
            maxValue[0][i]=0;
        }
        for(int i=1;i<=num;i++){
            for(int j=1;j<=num;j++){
                if(A[i-1]>j){//说明放不下
                    maxValue[i][j] = maxValue[i - 1][j];//装不下时value值不变
                }
                else{
                //能装下时看你愿不愿意装，装的话就腾出第i个物品
                    int new=maxValue[i-1][j-A[i-1]]+V[i-1];
                    maxValue[i][j]=Math.max(new,maxValue[i-1][j]);
                }
            }
        }
        return maxValue[num][m];
    }
}

7、回文串分割

题目链接：牛客网-回文串分割
给出一个字符串s，分割s使得分割出的每一个子串都是回文串
计算将字符串s分割成回文分割结果的最小切割数
例如:给定字符串s=“aab”,
返回1，因为回文分割结果[“aa”,“b”]是切割一次生成的。

import java.util.*;
public class Solution {
    public boolean isPal(String s,int start,int end){
        while(start