快速傅里叶变换学习记录——Fast Fourier Transformation

序言

掌声鼓励，本蒟蒻终于学会FFT啦！
死磕了接近5天的FFT，中途断断续续，请教了所谓的“数论讲师”葛某。
他居然告诉我：
他不会！！！
他不会！！！
他不会！！！
他不会！！！
他不会！！！
他不会！！！

前排膜拜dalao

如果觉得本人蒟蒻的，勿喷，可以看这两位dalao的Blog：
Mikcoo
Picks

前排预警：这篇Blog有很多公式！！！

预备知识

数论dalao可以直接跳过了……

多项式

形如 A(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn A ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n 的称为多项式。
a0,a1,⋯,an a 0 , a 1 , ⋯ , a n 称为多项式的系数。
x x 为不定元，不表达任何确定值。
不定元 x x 在多项式中最大的次数称为多项式的次数。

多项式的系数表达法

多项式的系数表示为 n+1 n + 1 维向量 a⃗ =(a0,a1,⋯,an) a → = ( a 0 , a 1 , ⋯ , a n ) 。
简单理解为一个数组就好……数学家总是喜欢搞些奇奇怪怪的东西。

多项式的点值表示法

已知对于一元 n n 次方程可以用 n+1 n + 1 个点的坐标表示。（理由自证）
多项式的点值表示为 {(xi,A(xi)):0≤i≤n} { ( x i , A ( x i ) ) : 0 ≤ i ≤ n } 。
还可用点值向量 y⃗ =(A(x0),A(x1),⋯,A(xn)) y → = ( A ( x 0 ) , A ( x 1 ) , ⋯ , A ( x n ) )

复数

形如 a+bi a + b i 的数称为复数，其中 a,b a , b 为实数， i i 为虚数单位，满足 i2=−1 i 2 = − 1 ’

单位根

n n 次单位根 ωn ω n 为满足 ωnn=1 ω n n = 1 的复数，共有 n n 个，均匀的分布在复平面的单位圆上，将单位圆 n n 等分。
所以 n n 次单位根的算术表示为 ωn=e2πin ω n = e 2 π i n 。

多项式乘法

给定两个多项式 A(x),B(x) A ( x ) , B ( x ) ，求 C(x)=A(x)B(x) C ( x ) = A ( x ) B ( x )

系数表示法下的运算

∵C(x)=∑i=12ncixi ∵ C ( x ) = ∑ i = 1 2 n c i x i
∴C(x)=∑j+k=i,0≤j,k≤najbkxi ∴ C ( x ) = ∑ j + k = i , 0 ≤ j , k ≤ n a j b k x i
易证时间复杂度为 O(n2) O ( n 2 )

点值表示法下的运算

∵C(x)=A(x)B(x) ∵ C ( x ) = A ( x ) B ( x )
∴C(xi)=A(xi)B(xi) ∴ C ( x i ) = A ( x i ) B ( x i )
∴C(x) ∴ C ( x ) 的点值表示为 {(xi,A(xi)B(xi)):1≤i≤n} { ( x i , A ( x i ) B ( x i ) ) : 1 ≤ i ≤ n }
易证时间复杂度为 O(n) O ( n )

Fast Fourier Transformation

FFT在竞赛中一般用于加速多项式乘法运算。
现在引入FFT（Fast Fourier Transformation）。
我们观察到对于以上两种运算，点值表示法下的运算明显优于系数表示法下的运算，考虑将运算过程转移到点值表示法下。
使用暴力强行将系数表示法转换为点值表示法的时间复杂度是 O(n2) O ( n 2 ) ，这里不再做讨论。

FFT算法流程

英文看的辛不辛苦啊，我就不翻译。（手动滑稽）

Discrete Fourier Transform

DFT的目的是将系数向量 a⃗  a → 转换为点值向量 y⃗  y → 。
将 n n 个相异实数 x0,x1,⋯,xn−1 x 0 , x 1 , ⋯ , x n − 1 代入多项式。
∴A(xk)=∑i=0n−1aixik,(0≤k≤n−1) ∴ A ( x k ) = ∑ i = 0 n − 1 a i x k i , ( 0 ≤ k ≤ n − 1 )
∴A(x) ∴ A ( x ) 的点值表示为 {(xk,A(xk)):0≤k≤n−1} { ( x k , A ( x k ) ) : 0 ≤ k ≤ n − 1 }
∴ ∴ 点值向量 y⃗ =(A(x0),A(x1),⋯,A(xn−1)) y → = ( A ( x 0 ) , A ( x 1 ) , ⋯ , A ( x n − 1 ) )
点值向量 y⃗  y → 称为系数向量 a⃗  a → 的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform），记作 y⃗ =DFTn(a⃗ ) y → = D F T n ( a → )
易证上述做法时间复杂度为 O(n2) O ( n 2 )

Cooley-Tukey算法（蝶形算法）

以下摘自Wiki：

库利－图基快速傅里叶变换算法（Cooley-Tukey算法）[1]是最常见的快速傅里叶变换算法。这一方法以分治法为策略递归地将长度为N = N1N2的DFT分解为长度分别为N1和N2的两个较短序列的DFT，以及与旋转因子的复数乘法。这种方法以及FFT的基本思路在1965年J. W. Cooley和J. W. Tukey合作发表An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series之后开始为人所知。但后来发现，实际上这两位作者只是重新发明了高斯在1805年就已经提出的算法（此算法在历史上数次以各种形式被再次提出）。
库利－图基算法最有名的应用，是将序列长为N的DFT分割为两个长为N/2的子序列的DFT，因此这一应用只适用于序列长度为2的幂的DFT计算，即基2-FFT。实际上，如同高斯和库利与图基都指出的那样，库利－图基算法也可以用于序列长度N为任意因数分解形式的DFT，即混合基FFT，而且还可以应用于其他诸如分裂基FFT等变种。尽管库利－图基算法的基本思路是采用递归的方法进行计算，大多数传统的算法实现都将显示的递归算法改写为非递归的形式。另外，因为库利－图基算法是将DFT分解为较小长度的多个DFT，因此它可以同任一种其他的DFT算法联合使用。

从中我们注意到一句话：“……因此这一应用只适用于序列长度为 2 2 的幂的DFT计算……”。
所以，为了计算的方便，我们将 n−1 n − 1 位多项式 A(x)=∑i=0naixi A ( x ) = ∑ i = 0 n a i x i 补位至2的幂。（ n=2n,m∈Z n = 2 n , m ∈ Z ，高位补为 0 0 ）
将 n n 个单位根 ω0n,ω1n,⋯,ωn−1n ω n 0 , ω n 1 , ⋯ , ω n n − 1 代入多项式。
∴A(ωkn)=∑i=0n−1ai(ωkn)i,(0≤k≤n−1) ∴ A ( ω n k ) = ∑ i = 0 n − 1 a i ( ω n k ) i , ( 0 ≤ k ≤ n − 1 )
∴A(x) ∴ A ( x ) 的点值表示为 {(ωkn,A(ωkn)):0≤k≤n−1} { ( ω n k , A ( ω n k ) ) : 0 ≤ k ≤ n − 1 }
∴ ∴ 点值向量 y⃗ =(A(ω0n),A(ω1n),⋯,A(ωn−1n)) y → = ( A ( ω n 0 ) , A ( ω n 1 ) , ⋯ , A ( ω n n − 1 ) )
现在Cooley-Tukey算法将每一项系数按指数奇偶分类，以此将系数减半：
A(ωkn)=∑i=0n−1aiωkin=∑i=1n2−1a2iω2kin+ωkn∑i=1n2−1a2i+1ω2kin A ( ω n k ) = ∑ i = 0 n − 1 a i ω n k i = ∑ i = 1 n 2 − 1 a 2 i ω n 2 k i + ω n k ∑ i = 1 n 2 − 1 a 2 i + 1 ω n 2 k i
现在我们考虑如何将代入的值也减半：
因为：
ω2n=(e2πin)2=e4πin=e2πin/2=ωn2 ω n 2 = ( e 2 π i n ) 2 = e 4 π i n = e 2 π i n / 2 = ω n 2
且当 k<n2 k < n 2 时
ωk+n2n=ωn2n⋅ωkn=−1⋅ωkn=−ωkn ω n k + n 2 = ω n n 2 ⋅ ω n k = − 1 ⋅ ω n k = − ω n k
所以：
当 k<n2 k < n 2 时
A(ωkn)A(ωn2+kn)=∑i=1n2−1a2iω2kin+ωkn∑i=1n2−1a2i+1ω2kin=∑i=1n2−1a2iωkin2+ωkn∑i=1n2−1a2i+1ωkin2=∑i=1n2−1a2iωkin2+ωn2+kn∑i=1n2−1a2i+1ωkin2=∑i=1n2−1a2iωkin2−ωkn∑i=1n2−1a2i+1ωkin2 A ( ω n k ) = ∑ i = 1 n 2 − 1 a 2 i ω n 2 k i + ω n k ∑ i = 1 n 2 − 1 a 2 i + 1 ω n 2 k i = ∑ i = 1 n 2 − 1 a 2 i ω n 2 k i + ω n k ∑ i = 1 n 2 − 1 a 2 i + 1 ω n 2 k i A ( ω n n 2 + k ) = ∑ i = 1 n 2 − 1 a 2 i ω n 2 k i + ω n n 2 + k ∑ i = 1 n 2 − 1 a 2 i + 1 ω n 2 k i = ∑ i = 1 n 2 − 1 a 2 i ω n 2 k i − ω n k ∑ i = 1 n 2 − 1 a 2 i + 1 ω n 2 k i
需要代入的值有 ω0n2,ω1n2,⋯,ωn2−1n2 ω n 2 0 , ω n 2 1 , ⋯ , ω n 2 n 2 − 1 ，问题转换为两个折半的子问题，可通过递归或迭代实现。
易证时间复杂度为 O(nlogn) O ( n log ⁡ n ) 。
至此，通过Cooley-Tukey算法，我们将DFT的时间复杂度降为 O(nlogn) O ( n log ⁡ n ) 。

Inverse Discrete Fourier Transform

IDFT的目的是将点值向量 y⃗  y → 转换为系数向量 a⃗  a →
IDFT就相当于把DFT过程中的 ωkn ω n k 换成 ω−kn ω n − k ，然后做一次DFT，之后结果除以 n n 就可以了。
这里只给出结论，用兴趣的同学可以自行研究。（你就是懒得写）

总结

对于多项式的运算（高精度预算），使用FFT可以实现十分好的时空复杂度优化。