标量、向量、矩阵、张量

 

    标量(saclar)：

           就是一个单独的数,没有方向，只具有数值大小，用斜体来表示，被赋予小写的变量名称，比如 斜体小写字母 k 可以表示一条线的斜率，n 可以表示一个集合中元素的数目。

    向量(vector)：

           一个向量是一列数，这些数是有序排列的，通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数，通常用粗体的小写变量名称表示，比如，向量中的元素可以通过带脚标的斜体表示。               向量 x 的第一个元素是 x₁，第二个元素是 x₂ ，等等。我们也会注明存储在向量中的元素是什么类型的。如果每个元素都属于实数集 R，并且该向量有 n 个元素，那么该向量属                于实数集 R 的 n 次笛卡尔乘积构成的集合，记为 Rⁿ 。当我们需要明确表示向量中的元素时，我们会将元素排列成一个方括号包围的总队：

          

 

    我们可以把向量看作空间重的点，每个元素使不同的坐标轴上的坐标。

 

    有时候我们需要索引向量中的一些元素。在这种情况下，我们定义一个包含这些元素的索引集合，然后将该集合写在脚标处。比如，指定x₁，x₃和x₆，我们定义集合s={1,3,6}，然后写       作x_{s。我们用符 - 表示集合的补集中的索引。} 比如x_₁ 表示x中除了x₁以外的所有元素，x_{_s}表示x中除了x₁，x₃和x₆外所有的元素构成的向量。

    矩阵(matrix)：

          矩阵是一个二维数组，其中的每一个元素被两个索引（而非一个）所确定。矩阵通常用粗体的     大写字母表示，比如 A， 如果一个实数矩阵高度为m，宽度为n，那么我们说 A ∈ R^mxn  ，

   我们在表示矩阵中的元素时。通常以不加粗的斜体形式使其用名称，索引用逗号间隔。比如，

   A_1,1表示在矩阵A中左上角的那个元素，A_m,n表示A右下的元素。我们通过用：表示要用到一排了或    者一列了。比方说A_m,:表示我要使用m行所有的元素。

   有时我们需要矩阵值表达式的索引，而不是单个元素。在这种情况下，我们在表达式后面接下标，    但不必将矩阵的变量名称小写化。 

   f(A)_i,j表示函数f 作用在 A 上输出的矩阵的第 i 行第 j 列元素。 

    张量(tensor)：

           在某些情况下，我们会讨论坐标超过两维的数组。一般地，一个数组中的元素分布在若干维      坐标的规则网格中，我们称之为张量。我们使用字体 A 来表示张量 “A’’。张量 A中坐标为                  (i,j,k) 的元素记作 A_i,j,k.

    转置（transpose）：

           矩阵的转置是以对角线为轴的镜像，这条从左上角到右下角的对角线被称为主对角线（main      diagonal）。我们将矩阵 A 的转置表示为 A^T， 定义如下

                       (A^T)_i,j = Ai,j

 

 

           向量可以看作只有一列的矩阵。对应地，向量的转置可以看作是只有一行的矩阵。有时，我们通过将向量元素作为行矩阵写在文本行中，然后使用转置操作将其变为标准的列向                  量，来定义一个向量，比如 x = [x₁; x₂; x₃]⊤.标量可以看作是只有一个元素的矩阵。因此，标量的转置等于它本身， a = a^T。