数值分析（五）：C++实现一般实矩阵的QR分解

先简单介绍一下一般实矩阵的QR分解是什么；
再是源码，不过这次的C++源码是教材上的，提前说明，才五十几行代码就实现了一般实矩阵的QR分解，精炼且巧妙，若是我来写肯定是办不到这么简洁的，正如《C++ Primer》里作者所提倡的简洁是一种美德，这些代码简直就可以修身齐家治国平天下了；
然后再执行这个程序，得到结果，到后面再仔细地分析这个算法的过程（我自己清楚了，可能表达上也会无法传达，因为可能博客这东西更多的可能是写给自己看的······）。

矩阵的QR分解，就是说一个实矩阵，只要它的列向量线性无关，就可以进行QR分解，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵，一个实矩阵（不一定是方阵），列向量线性无关就可以分解成一个正交矩阵和上三角矩阵的乘积，这就是一般实矩阵的QR分解。这个分解乍看不难，但是仔细计算起来却有难度，因为正交矩阵虽然在线性代数里听得多，见得多，但是实际用得不多，这次求矩阵特征值，整个一章就提到了两个正交矩阵，一个就是初等反射矩阵H，这是今天最关键的哥们，因为矩阵本身就是映射吗，而且这个映射比较特殊，一个向量经过这个矩阵处理，发现得到的向量大小不变，并且是关于某一个平面镜像对称的，这个平面就和H矩阵有关，另一个正交矩阵是旋转矩阵，这里不再细说。

知道什么是一般实矩阵的QR分解了，就给出源码，按照函数的观点，输入的参数是一个矩阵，这里实际上是二重指针，直接在函数体里面将矩阵的分解结果在黑框框里打印出来，以下是源码，以及执行的结果：

#include
using namespace std;

//接下来把一般实矩阵的QR分解按函数的形式稍稍改写一下，输入是一般mxn实矩阵A，以及矩阵的行数m列数n，输出是QR形式的正交矩阵和上三角矩阵的乘积，

void Maqr(double ** A, int m, int n)//进行一般实矩阵QR分解的函数
{
	int i, j, k, nn, jj;
	double u, alpha, w, t;
	double** Q = new double*[m];   //动态分配内存空间
	for (i = 0; i u) u = w;
		}
		alpha = 0.0;
		for (i = k; i <= m - 1; i++)
		{
			t = A[i][k] / u; alpha = alpha + t * t;
		}
		if (A[k][k] > 0.0) u = -u;
		alpha = u * sqrt(alpha);
		if (fabs(alpha) + 1.0 == 1.0)
		{
			cout << "\nQR分解失败！" << endl;
			exit(1);
		}

		u = sqrt(2.0*alpha*(alpha - A[k][k]));
		if ((u + 1.0) != 1.0)
		{
			A[k][k] = (A[k][k] - alpha) / u;
			for (i = k + 1; i <= m - 1; i++) A[i][k] = A[i][k] / u;
			
			//以上就是H矩阵的求得，实际上程序并没有设置任何数据结构来存储H矩
			//阵，而是直接将u向量的元素赋值给原A矩阵的原列向量相应的位置，这样做
			//这样做是为了计算左乘矩阵Q和A
			for (j = 0; j <= m - 1; j++)
			{
				t = 0.0;
				for (jj = k; jj <= m - 1; jj++)
					t = t + A[jj][k] * Q[jj][j];
				for (i = k; i <= m - 1; i++)
					Q[i][j] = Q[i][j] - 2.0*t*A[i][k];
			}
//左乘矩阵Q，循环结束后得到一个矩阵，再将这个矩阵转置一下就得到QR分解中的Q矩阵
//也就是正交矩阵

			for (j = k + 1; j <= n - 1; j++)
			{
				t = 0.0;
				for (jj = k; jj <= m - 1; jj++)
					t = t + A[jj][k] * A[jj][j];
				for (i = k; i <= m - 1; i++)
					A[i][j] = A[i][j] - 2.0*t*A[i][k];
			}
			//H矩阵左乘A矩阵，循环完成之后，其上三角部分的数据就是上三角矩阵R
			A[k][k] = alpha;
			for (i = k + 1; i <= m - 1; i++)  A[i][k] = 0.0;
		}
	}
	for (i = 0; i <= m - 2; i++)
		for (j = i + 1; j <= m - 1; j++)
		{
			t = Q[i][j]; Q[i][j] = Q[j][i]; Q[j][i] = t;
		}
	//QR分解完毕，然后在函数体里面直接将Q、R矩阵打印出来
	for (i = 0; i> m >> n;
	double** A = new double* [m];
	for (int i = 0; i < m; i++)A[i] = new double[n];
	cout << "输入矩阵A的每一个元素" << endl;
	for (int i = 0; i < m; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			cin >> A[i][j];
	Maqr(A, m, n);

	system("pause");
	return 0;
}

然后更仔细地分析矩阵的QR分解：
先用自然语言说一遍，自然语言讲究传神，传达最大的轮廓，用我的理解来说一遍：一般实矩阵的QR分解，Q是正交矩阵，R是上三角矩阵，给定一个mxn的实矩阵，列向量线性无关，所以就可以分解成mxm的正交矩阵，和mxn的上三角矩阵。

最重要的一步，就是找到n-1个初等反射矩阵H把A对角线以下的列向量全部化成单位向量（或是其倍数，方向由原向量中的最大的元素的符号所决定），这样乘一个H矩阵就把相应的一列对角线以下元素化成了0，这个A矩阵有n列，就要求n-1个这样的H矩阵，然后是不断左乘A矩阵，直到最后成了一个上三角矩阵，也就是所求的上三角矩阵R，那么Q矩阵呢？Q矩阵的就是所有H矩阵的累乘得到的矩阵，最后再求逆，不过，好在这些正交矩阵相乘仍然是正交矩阵，所以只要把这些累乘得到的矩阵转置一下就是Q矩阵；

然后结合图再说一遍：

矩阵QR分解的过程，就是找到n-1个初等反射矩阵H，然后左乘A矩阵，使得红线所圈住的向量全部化成只有首元素不为0的单位向量（或是其倍数，，，），写成公式就是：

这就是矩阵的QR分解。可见，其中最关键的就是初等反射矩阵H，要根据原向量找到这么一个初等反射矩阵H，将原向量映射成一个与仅首元素不为0的单位向量平行的向量，那么怎么找H矩阵呢？

设向量w满足w（转置）w=1，则矩阵H=I-2ww（转置），就是初等反射矩阵H，也有一个比较有逼格名称，叫豪斯霍尔德变换，这个矩阵写完整就是：

所以只要向量u非零，那么矩阵：

也是初等映射矩阵，毕竟就是系数的问题吗，很容易理解，那么怎么根据原向量，来找到这么一个特殊的矩阵？

这个矩阵有非常重要的几何意义，那就是一个向量经过这个矩阵的作用，得到一个新向量，新旧向量是镜面对称的，镜面就是w向量的法平面，所以就有这么一个约化定理，对于非零向量x，总是存在这么一个初等反射矩阵，将其映射成单位向量，即Hx=-a（1,0,0···，0）；
这个a就是单位向量的倍数，数值就是x向量的模，刚刚也说了新旧向量是镜面对称的，自然向量长度是相等，然后根据向量x计算得到u向量，大小就是原向量的模，方向和x中元素最大的那个方向一致进而得到H矩阵的公式如下：

所以在本次编程中的第一步，就是计算H矩阵。因为要计算n-1个这样的H矩阵，所以接下的代码都是写在一个k从1~n-1的循环里面的（教材这里的u和上面的向量w是一样的，而与上面的模不是1的u向量有区别）。

是的，计算公式有点复杂，理解也有点难度，不过抓住H矩阵的几何意义就很好理解了，我怕说太多反而会造成误解，所以就直接上图了，σ是原向量的模，ρ是和H计算公式中的β是意义一样的，目的就是得到模为1的u向量，所以就是一个系数的问题。

然后是不断用H矩阵左乘Q（Q矩阵的初始值就是一个单位矩阵），所以就相当于H矩阵自身的不断累乘，最后转置这个矩阵就得到了正交矩阵Q，这也是这段代码比较吊诡，也是最巧妙的地方，纵使求了这么多遍H矩阵，代码中自始至终都没有出现存储H矩阵的数据结构，上面的截图也提示了，计算H矩阵，是通过计算u向量的，她计算出u向量，直接将u向量的元素，u1，u2，，，这些元素赋值给A矩阵的相应的位置，然后进行左乘Q，公式如下：

这样赋值的结果，竟然和左乘H矩阵的公式是一样的，笔者用纸笔验证过了，哈哈哈，其实能够这样写，而不按照矩阵乘法公式写的原因主要还是H矩阵的特殊性造成的，毕竟是对称的正交矩阵，这样的矩阵很特殊了；（2333333~，若是我来写这个算法的话，我估计还要老老实实存储一下H矩阵）
接着，再左乘A矩阵，同样的公式：

循环了n-1次之后最后得到一个矩阵不是一个上三角矩阵，但是她的对角线以上的数据就是R的数据，因为刚刚也说了对角线一下的数据是用于计算H矩阵的u向量的数据，至于最后不断累乘之后，成了什么样，也不需要关注了，只要把累乘后的矩阵的对角线以上的部分提取出来就可以了。
这样在一个大循环里就完成了一般实矩阵的QR分解啦~
哎呀呀呀，感觉没讲清楚啊，哈哈哈~
这么大段的文字，结果道理又没讲清楚，真是哭笑不得了，下次还是不写这么大段的文字了，估计还是自己太懒了~
两本教材是《数值分析第五版》，以及《常用算法程序集-C++语言描述（第四版）》（清华大学出版社），这两本书学习起来，绝搭。