Paper notes(2):三部图张量分解标签推荐算法

本文只是个人用于记录论文学习笔记，如有写错的地方还望各位大佬批评指正。

1. 解决的问题和解决的方法

三部图转换成二部图时会丢失部分元素间的相关信息，而且不能有效处理标签系统中具有大量稀疏值和缺失值的数据。

关于丢失信息的问题，以常用的$\{item，user，tag\}$标签系统为例，数据以三元组$\{i,j,k\}$的形式出现，表示用户$k$在资源$i$上进行了$j$标签标注，三部图在转换为二部图的过程中，只考虑了$U_{ij},W_{ik},V_{jk}$之间的关系，而损失部分$\{i,j,k\}$之间的信息，以下图为例，$item$ 中的 $i_2$ 与 $tag$ 标签 $j_2$ 之间不仅仅存在着 $U_{i_2{j}_2}$ 的关系，同时 $i_2$ 与 $j_2$ 还可以沿着 $item$ 中的 $i_2$ 与 $user$ 中的 $k_2$ 以及 $user$ 中的 $k_2$ 到 $tag$ 中的 $j_2$ 之间传递 $i_2与j_2$ 之间的信息，这一部分信息会在转换为二部图的过程中遗失。

对于上述问题，这篇文章提出了基于三部图的三维张量分解推荐算法(TTD)

2.文中用到的符号及其定义

3. TTD算法

三部图张量分解模型为：
$$Y_{ijk}=U_{ij}{V}_{ik}+V_{ik}{W}_{jk}+U_{ij}{W}_{jk}\text{\hspace{1em}(4-2)}$$
$U_{ij},V_{ik},W_{jk}$的初始值为：
$$\begin{array}{rlr}{U}_{ij}& =X_{ij\ast }& \text{(4-3)}\\ V_{ik}& =X_{i\ast k}& \text{(4-4)}\\ W_{jk}& =X_{\ast jk}& \text{(4-5)}\end{array}$$
目标函数为：
$$\underset{ijk}{\min }J=\min \sum _{ijk}(X_{ijk}-Y_{ijk}{)}^2+\alpha (\Vert U{\Vert }^2+\Vert V{\Vert }^2+\Vert W{\Vert }^2)$$
将公式4-2带入上式可得：
$$\underset{U,V,W}{\min }J=\min \sum _{ijk}(X_{ijk}-(U_{ij}{V}_{ik}+V_{ik}{W}_{jk}+U_{ij}{W}_{jk}){)}^2+\alpha (\Vert U{\Vert }^2+\Vert V{\Vert }^2+\Vert W{\Vert }^2)\text{\hspace{1em}(4-17)}$$
分别对$U,V,W$求偏导并令其等于0，可以得到$U,V,W$的最优解如下：
$$\begin{array}{rlr}U& =(V{V}^T{e}_i{e}_j^T+e_i{e}_j^T{W}^{T}W+2V{W}^T+\alpha I{)}^{-1}\cdot (X_{V^{\ast }}^k+X_{W^{\ast }}^k-(V\cdot V)W^T-V(W^T\cdot W^T))& \text{(4-19)}\\ V& =(U{U}^T{e}_i{e}_k^T+e_i{e}_k^T{W}^{T}W+2UW+\alpha I{)}^{-1}\cdot (X_{U^{\ast }}^j+X_{W^{\ast }}^j-(U\cdot U)W-U(W\cdot W))& \text{(4-21)}\\ W& =(U^{T}U{e}_j{e}_k^T+e_j{e}_k^T{V}^{T}V+2U^{T}V+\alpha I{)}^{-1}\cdot (X_{U^{\ast }}^i+X_{V^{\ast }}^i-(U^T\cdot U^T)V^T-U^T(V\cdot V))& \text{(4-23)}\end{array}$$
算法伪代码如下：

注：缺失值填补采用张量均值填补