半正定矩阵 正定

矩阵A正定是指,对任意的X≠0恒有X^TAX＞0

矩阵A半正定是指,对任意的X≠0恒有X^TAX≥0

X^T代表X的转置

对一般的矩阵来说，要把矩阵化成标准型才可以这样说。一个矩阵是正定的是指该矩阵对应的实 二次型f（x1,x2,...,xn）对任意的一组不全为零的实数c1,c2,...,cn都有f(c1,c2,...,cn)>0.

中文名 半正定矩阵 类    别 数学

性    质 科学 属    于 代数

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• 1半正定矩阵概述
• 2判定一个矩阵半正定

1半正定矩阵概述

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定义　一个 × 的 埃尔米特矩阵 是 正定的当且仅当对于每个非零的复向量 ，都有 *Mz > 0，则称M为 正定矩阵，其中z* 表示 的 共轭转置。当 *Mz > 0弱化为 *Mz≥0时，称 是 半正定矩阵由于 是 埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复 向量 ， *Mz必然是 实数，从而可以与0比较大小.

与 正定矩阵相对应，一个 × 的 埃尔米特矩阵 是 负定矩阵,当且仅当对非零的复 向量 都有： *Mz < 0.

具有 对称矩阵A的二次型f=x'Ax

如果对任何 非零向量x，都有x'Ax≥0（或x’Ax≤0）成立，且有非零向量x0，使x0'Ax0=0，则称f为半 正定（半负定）二次项，矩阵A称为 （半 负定矩阵）

2判定一个矩阵半正定

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1、对于 半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的 主子式非负。 顺序主子式非负并不能推出 矩阵是半 正定的。比如以下例子：

2、 半正定矩阵

定义：设A是 实对称矩阵。如果对任意的实非零 列矩阵X有X *A*X≥0，就称A为 半正定矩阵。

3、A∈Mn（K）是 半正定矩阵的充要条件是：A的所有 主子式大于或等于零。