《矩阵论》学习笔记（四）：第四章 矩阵分解

《矩阵论》学习笔记（四）：第四章 矩阵分解

矩阵分解

基础矩阵下

广义逆矩阵下

1- 矩阵的三角分解

2- 矩阵的QR分解

3- 矩阵的满秩分解

4- 矩阵的非奇异分解

一、矩阵的三角分解

详见：矩阵的三角分解

二、矩阵的QR分解

详见：矩阵的QR分解

三、矩阵的满秩分解

• 提出的目的：
  将非零矩阵分解成行满秩矩阵与列满秩矩阵的乘积。

3.1. 基本原理

对任意矩阵$A\in C_r^{m\ast n}$，若存在行满秩矩阵$F\in C_r^{m\ast r}$和列满秩矩阵$G\in C_r^{r\ast n}$，
使得：$A=FG$，称做A的满秩分解。

• 列满秩矩阵G：
  是从A经过初等行变换得到的行阶梯型矩阵B中得到的。
  $$A\to B=\left[\begin{array}{c}G\\ —\\ O\end{array}\right]$$
• 行满秩矩阵F：
  把A变换得到B的一系列初等行变换的乘积记做P，使得PA=B。
  $$P^{-1}=\left[\begin{array}{c}F|S\end{array}\right]，F\in C_r^{m\ast r}，S\in C_{(m-r)}^{m\ast (m-r)}$$

- 列满秩矩阵G：
是从A经过初等行变换得到的行阶梯型矩阵B中得到的。 $$A\to B=\left[\begin{array}{c}G\\ —\\ O\end{array}\right]$$
- 行满秩矩阵F：
把A变换得到B的一系列初等行变换的乘积记做P，使得PA=B。 $$P^{-1}=\left[\begin{array}{c}F/S\end{array}\right]，(F\in C_r^{m\ast r}，S\in C_{(m-r)}^{m\ast (m-r)})$$

• 存在性与唯一性：
  存在性：任意矩阵A的满秩分解一定存在。
  唯一性：不唯一。

• 矩阵满秩分解的一般方法：
  1- $[AI]\to [B|P]$;
  2- $B\to G;P\to P^{-1}\to F$

- 矩阵满秩分解的一般方法：
1- $[AI]\to [BP]$;
2- $B\to G;P\to P^{-1}\to F$

3.2. Hermite标准型方法

Hermite标准型方法
1- Hermite标准型
2- 拟Hermite标准型

Hermite标准型方法求解步骤 A=FG
1. B：行化简矩阵A${}_{m\ast n}$得到B${}_{m\ast n}$;
2. F：从B的m列中找到属于单位阵$I_{m\ast m}$的r列，从原始矩阵A中把这些列提出来，组合得到矩阵F${}_{m\ast r}$;
3. G：B的前r行不为0的行构成G${}_{r\ast n}$.

四、矩阵的奇异值分解

4.1. 矩阵的正交对角分解

$A_{n\ast n}$为可逆方阵，则存在正交矩阵P和Q，使得：

• $P^{T}AQ=diag({\sigma }_1,{\sigma }_2,...,{\sigma }_n)$，其中，${\sigma }_i={\sqrt[]{\lambda }}_i，{\lambda }_i$为$A^{T}A$的特征值。
• $Q^T(A^{T}A)Q=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n).$

即，$A=P\ast diag({\sigma }_1,{\sigma }_2,...,{\sigma }_n)\ast Q^T$称作矩阵的正交对角分解。

4.2. 矩阵的奇异值分解

• 提出的意义：
  对方阵$A_{n\ast n}$，可分解成正交矩阵×特征值组成的对角矩阵的形式，那么对一般矩阵$A_{m\ast n}$是否存在这样的分解呢？

• 矩阵的奇异值：

设$A\in C_r^{m\ast n}$，A^TA$的特征值为：
${\lambda }_1\ge {\lambda }_2,...,\ge {\lambda }_r>{\lambda }_{r+1}=...={\lambda }_n=0$，称${\sigma }_i={\sqrt[]{\lambda }}_i$为$A$的奇异值。

• 奇异值个数=A的列数n，非零奇异值个数=rank(A).

• 矩阵的奇异值分解：
  $$A=U\left[\begin{array}{cc}\sum & O\\ O& O\end{array}\right]V^H$$
  其中，$\sum =diag({\sigma }_1,{\sigma }_2,...,{\sigma }_n)$.
  $U_{m\ast m}$的列向量是$A^{H}A$的特征向量，$V_{n\ast n}$的列向量是$A{A}^H$的特征向量。
  如下图：
  

- 求矩阵A的SVD分解步骤：
1. 求Hermite矩阵$A^{H}A$的特征值 ${\lambda }_i$
2. 求矩阵A的秩(=非零奇异值个数)
3. 求A的奇异值 ${\sigma }_i={\sqrt[]{\lambda }}_i$
4. 求酉矩阵$V_{n\ast n}$ [V是使得$V^T(A^{H}A)V=I$的正交矩阵]
5. 求酉矩阵$U=[U_1/U_2]，U_1=A{V}_1{\sum }^{-1}$
6. 得到A的SVD分解.

-	奇异值分解的存在性与唯一性
存在性：	一定存在
唯一性：	矩阵A的奇异值唯一: $\sum$ 唯一，但奇异分解不唯一: U和V不唯一

• 奇异值分解的几何意义：
  奇异值分解就是在低维空间中寻找最接近原矩阵A的低维矩阵M，也即是数据降维过程。
  奇异值分解就是在寻找数据分布的主要维度，将原始的高维数据映射到低维子空间中实现数据降维。

4.3. 矩阵的正交相抵

正交相抵是对“矩阵相似”概念的推广。

• 正交相抵的定义：

$A,B\in R^{m\ast n}$，若存在正交矩阵$U_{m\ast m}$和$V_{n\ast n}$，使得$B=U^{-1}AV$，则称A和B相抵。

• 正交相抵的性质：

-	矩阵的正交相抵的性质
1.	同一正交相抵等价类中的所有矩阵有相同的特征值。
2.	同一正交相抵等价类中的所有矩阵的奇异值分解$A=UD{V}^T$的矩阵D相同。

4.4. 矩阵奇异值分解的应用

• SVD的应用：

1. 可以用于PCA降维，来做数据压缩(图像压缩)和去噪。
2. 可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。
3. 可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。

• SVD用于PCA降维：

1. 背景及原因：
   通常情况下高维数据分布并不是雨露均沾的，而往往是厚此薄彼，集中分布在某些维度上，如下左图。
   可以看到：原始数据确是二维数据，但其主要集中分布在直线L(一维空间)附近，SVD(奇异值分解)就是在寻找直线L，然后将数据映射到直线L上，实现数据降维的过程，如下右图。
   

2. 具体用法：
   具有大量特征的数据(样本集矩阵特征数/列数多于观察数/行数)，通过SVD分解，将特征维度降低，归约成与所涉预测问题最相关的更小特征子集。
   其结果是一个秩更低的矩阵，接近原始矩阵。
   为了做到这一点，我们可以在原来的数据上执行一次SVD分解操作并选择矩阵D中前k个最大的奇异值，作为降维后数据的特征。
   如下图：原图 vs k=10 vs k=50 vs k=80，当k=80跟原图已经几乎没有差别，但是存储消耗只有原图的一半。