[UOJ#348][WC2018]州区划分（状压dp+FMT）

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洛谷P4221
BZOJ5153
UOJ#348
LOJ#2340

Solution

有一个显然的 dp 方案：
$f[S]$ 表示选出的城市集合为 $S$ 的满意度之和。
$sum[S]$ 表示城市集合 $S$ 的人口之和。
$g[S]$ 表示：
$$[子图S不存在欧拉回路]\times sum[S{]}^p$$
转移显然：
$$f[S]=\frac{1}{sum[S{]}^p}\sum _{T⊊S}f[T]g[S-T]$$
复杂度 $O(3^n)$ ，难以通过 $n=21$ 的数据。
考虑到这是子集卷积的形式，不妨把 $f$ 按照 $S$ 集合大小分类：
$f[i][S]$ 表示：
$$\{\begin{array}{ll}f[S]& |S|=i\\ 0& \text{ELSE}\end{array}$$
那从小到大枚举 $i$ ，再枚举一个 $0\le j<i$ ，那么 $f[i]$ 就能从 $f[j]$ 和 $g[i-j]$ 转移。
如果已经求得了 $f[0...i-1]$ 的快速莫比乌斯变换 $f[0{]}^{\prime },f[1{]}^{\prime },...,f[i-1{]}^{\prime }$ ，
以及 $g$ 的 FMT $g^{\prime }$ ,
那么就可以直接计算 $f[i{]}^{\prime }[S]+=f[j{]}^{\prime }[S]\times g[i-j{]}^{\prime }[S]$ 。
反演回去之后将每个 $f[i][S]$ 除以 $sum[S{]}^p$ 。
注意需要将 $|S|̸=i$ 的 $f[i][S]$ 清零。
复杂度 $O(2^n\times n^2)$ 。

Code

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Rof(i, a, b) for (i = a; i >= b; i--)
#define Subset(k, i) for (k = i; k; k = (k - 1) & i)
using namespace std;

inline int read()
{
	int res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	return bo ? ~res + 1 : res;
}

const int N = 25, C = (1 << 21) + 5, MOD = 998244353;

int qpow(int a, int b)
{
	int res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = 1ll * res * a % MOD;
		a = 1ll * a * a % MOD;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

int n, m, p, Cm, w[N], cnt[N], f[N][C], sum[C], inv[C], ans, eul[N][C],
sze[C], fa[N];
bool gr[N][N], cir[C];

void FWT(int n, int *a, int op)
{
	int i, j;
	For (i, 1, n) For (j, 0, (1 << n) - 1)
		if (!((j >> i - 1) & 1))
			a[j | (1 << i - 1)] = (a[j | (1 << i - 1)]
				+ (op == 1 ? a[j] : MOD - a[j])) % MOD;
}

int fd(int x)
{
	if (fa[x] != x) fa[x] = fd(fa[x]);
	return fa[x];
}

void mg(int x, int y)
{
	int ix = fd(x), iy = fd(y);
	if (ix != iy) fa[iy] = ix;
}

int main()
{
	int i, j, S, x, y;
	n = read(); m = read(); p = read();
	Cm = (1 << n) - 1;
	For (i, 1, m) x = read(), y = read(),
		gr[x][y] = gr[y][x] = 1;
	For (i, 1, n) w[i] = read();
	For (S, 1, Cm)
	{
		For (i, 1, n) cnt[i] = 0, fa[i] = i; int xp = 0;
		For (i, 1, n) if ((S >> i - 1) & 1)
		{
			sum[S] += w[i]; sze[S]++; xp = i;
			For (j, i + 1, n) if (((S >> j - 1) & 1) && gr[i][j])
				cnt[i]++, cnt[j]++, mg(i, j);
		}
		sum[S] = qpow(sum[S], p);
		inv[S] = qpow(sum[S], MOD - 2);
		For (i, 1, n) if (((S >> i - 1) & 1) && fd(i) != fd(xp))
			{cir[S] = 1; continue;}
		For (i, 1, n) if (cnt[i] & 1)
			{cir[S] = 1; continue;}
	}
	For (i, 0, Cm) eul[sze[i]][i] = cir[i] * sum[i];
	For (i, 0, n) FWT(n, eul[i], 1);
	f[0][0] = 1;
	FWT(n, f[0], 1);
	For (i, 1, n)
	{
		For (j, 0, i - 1) For (S, 0, Cm)
			f[i][S] = (f[i][S] + 1ll * f[j][S] * eul[i - j][S] % MOD) % MOD;
		FWT(n, f[i], -1);
		For (S, 0, Cm)
			if (sze[S] == i) f[i][S] = 1ll * f[i][S] * inv[S] % MOD;
			else f[i][S] = 0;
		FWT(n, f[i], 1);
	}
	FWT(n, f[n], -1);
	cout << f[n][Cm] << endl;
	return 0;
}