带花树算法浅谈&&bzoj4405: [wc2016]挑战NPC

带花树简介

带花树用来求解一般图的最大匹配问题。

前置技能

基础图论知识。
极大匹配：对于一个匹配，若无法在原图中找到任意边加入匹配，则称该匹配为一个极大匹配。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配 。
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边 … 形成的路径叫交替路。
增广路：对于一条路径，从一个未匹配点出发，走交替路，终止于另一个未匹配点 ，则这条交替路称为增广路。显然增广路长度为奇数。1

带花树算法

考虑二分图最大匹配的Dinic做法实质上就是不断的找增广路，我们是否可以在一般图中同样用找增广路的方法来求解最大匹配？
考虑我们已经匹配好一些点，我们选择一个没有匹配的点进行bfs。从当前节点出发，将它标为S型。如果发现一个点没有被匹配，则我们就进行了一次成功的增广。否则我们建搜索树，将当前搜到的点标成T型，将它的配偶标成S型（即目前与它匹配的点），并把它的配偶加入队列。（与二分图匹配有点像）。搜索树以开始搜索的节点为根，深度为1。如图，虚线为有边但不是配偶，实线为两点为配偶。

则发现2,3有配偶，就将他们标记为T，将他们的配偶标记为S，将他们的配偶加入队列。如图。红色为T，白色为S。

但是我们匹配时会发现一些当前bfs已经标记过的点，如何处理？
显然我们现在一定在一个S点上。
（1）当我们找到1个T点时，如下图。

我们相当于找到一个长度为偶数的环，我们可以无视这条边。
（2）当我们找到1个S点时，如下图。

我们将这个环缩成一个点，将环内的点全变成S点，之后将缩完后的点加入队列。

为什么可以缩点？
当这个环中任意一点找到了匹配点，则剩下的点都能够找到对应的匹配点。即缩点之前和缩点之后的图是否有增广路的情况是相同的。

写法

1.缩点。
2.修改ST。
3.维护一棵搜索树。
我们可以不显式表示花，记录pre数组表示当前增广的前驱。维护一个并查集。
1.当前找到的点是T型点：无视。
2.当前找到的点没有匹配：直接增广。
3.当前找到的点与现在的点在一个并查集：无视。
4.当前找到的点是S型点：缩点！

如何缩点？

找到x,y的lca（暴力即可），在pre数组中把它们连起来，然后从x,y走到lca，修改并查集和lca。

模板

下面是uoj#79 模板题。

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
queue<int> q;
int read()
{
    char ch=getchar();int f=0;
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') {f=f*10+(ch^48);ch=getchar();}
    return f;
}
int k,n,m;
struct node
{
    int from;
    int to;
    int next;
}edge[500005];
int head[50005],ans=0,lca,l,pre[50005],ma[50005],fa[50005],st[50005],tot,d,v[50005];
void add(int u,int v)
{
    edge[tot].from=u;
    edge[tot].to=v;
    edge[tot].next=head[u];
    head[u]=tot++;
}
int get_lca(int x,int y)
{
    for(d++;;swap(x,y)) if(x)
    {
        if(v[x]==d) return x;
        v[x]=d;
        x=fa[pre[ma[x]]];
    }
}
void up(int x,int y)
{
    while(fa[x]!=lca)
    {
        pre[x]=y;
        if(st[ma[x]]>0)
        {
            q.push(ma[x]);
            st[ma[x]]=0;
        }
        fa[x]=lca;
        fa[ma[x]]=lca;
        x=pre[y=ma[x]];
    }
}
int match(int x)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    fa[i]=i,st[i]=-1;
    while(!q.empty())
    q.pop();
    q.push(x);
    st[x]=0;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            if(st[edge[i].to]<0)
            {
                st[edge[i].to]=1;
                pre[edge[i].to]=x;
                if(!ma[edge[i].to])
                {
                    int k,j;
                    for(j=x,i=edge[i].to;j;j=pre[i=k])
                    {
                        k=ma[j];
                        ma[j]=i;
                        ma[i]=j;
                    }
                    return 1;
                }
                q.push(ma[edge[i].to]);
                st[ma[edge[i].to]]=0;
            }
            else if(fa[edge[i].to]!=fa[x]&&!st[edge[i].to])
            {
                lca=get_lca(edge[i].to,x);
                up(edge[i].to,x);
                up(x,edge[i].to);
                for(int j=1;j<=n;j++)
                fa[j]=fa[fa[j]];
            }
        }
    }
    return 0;
}
void solve()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans+=!ma[i]&&match(i);
    }
    printf("%d\n",ans);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    printf("%d ",ma[i]);
}
int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        x=read(),y=read();
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    ans=0;
    solve();
}

bzoj4405: [wc2016]挑战NPC

一眼是个二分图模型，然而却不能用二分图做，考虑建一般图，将一个筐拆成3个点，3个点互相连边，这样对于一个筐没有球时有1对匹配，1个球是有两对匹配，2个球时有两对匹配，3个球时有3对匹配，最后答案就是匹配数-n。

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
queue<int> q;
int read()
{
    char ch=getchar();int f=0;
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9'){f=(f<<1)+(f<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return f;
}
int d,n,m,tot,head[10005],st[10005],ma[10005],v[10005],pre[10005],k,fa[10005],ans,lca;
struct node
{
    int from;
    int to;
    int next;
}edge[1000005];
void add(int u,int v)
{
    edge[tot].from=u;
    edge[tot].to=v;
    edge[tot].next=head[u];
    head[u]=tot++;
}
void ins(int u,int v)
{
    add(u,v);
    add(v,u);
}
int get_lca(int x,int y)
{
    for(d++;;swap(x,y))
    if(x)
    {
        if(v[x]==d) return x;
        v[x]=d;
        x=fa[pre[ma[x]]];
    }
}
void up(int x,int y)
{
    while(fa[x]!=lca)
    {
        pre[x]=y;
        if(st[ma[x]]>0)
        {
            q.push(ma[x]);
            st[ma[x]]=0;
        }
        fa[x]=lca;
        fa[ma[x]]=lca;
        x=pre[y=ma[x]];
    }
}
bool match(int x)
{
    for(int i=1;i<=n+3*m;i++)
    fa[i]=i,st[i]=-1;
    while(!q.empty())
    q.pop();
    q.push(x);
    st[x]=0;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            if(st[edge[i].to]<0)
            {
                st[edge[i].to]=1;
                pre[edge[i].to]=x;
                if(!ma[edge[i].to])
                {
                    int k,j;
                    for(j=x,i=edge[i].to;j;j=pre[i=k])
                    {
                        k=ma[j];
                        ma[i]=j;
                        ma[j]=i;
                    }
                    return 1;
                }
                st[ma[edge[i].to]]=0;
                q.push(ma[edge[i].to]);
            }
            else if(fa[edge[i].to]!=fa[x]&&!st[edge[i].to])
            {
                lca=get_lca(edge[i].to,x);
                up(edge[i].to,x);
                up(x,edge[i].to);
                for(int j=1;j<=n+3*m;j++)
                {
                    fa[j]=fa[fa[j]];
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}
void solve()
{
    for(int i=1;i<=n+3*m;i++)
    {
        ans+=!ma[i]&&match(i);
    //  cout<<"ok";
    }
    cout<int main()
{
    int T=read();
    while(T--)
    {
        memset(head,-1,sizeof(head));
        memset(ma,0,sizeof(ma));
        memset(pre,0,sizeof(pre));
        memset(v,0,sizeof(v));
        tot=0;d=0;
        n=read(),m=read();k=read();
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            ins(3*(i-1)+1,3*(i-1)+2);
            ins(3*(i-1)+2,3*(i-1)+3);
            ins(3*(i-1)+3,3*(i-1)+1);
        }
        for(int i=1;i<=k;i++)
        {
            int u=read(),v=read();
            ins(u+3*m,3*(v-1)+1);
            ins(u+3*m,3*(v-1)+2);
            ins(u+3*m,3*(v-1)+3);
        }
        ans=0;
        solve();
    }
}