[线性DP][杨氏矩阵和勾长公式]Mr. Young's Picture Permutations

传送门

描述 有n个学生合影，站成左对齐的k排，每行分别有N1,N2…NK个人，第一排站最后，第k排站之前。
学生身高依次是1…N。在合影时候要求每一排从左到右递减，每一列从后面到前也递减，一共有多少总方案
输入
每组测试数据包含两行。第一行给出行数k。

第二行包含从后到前（n1，n2，…，nk）的行的长度，作为由单个空格分隔的十进制整数。

问题数据以0结束。

行数 不会超过5行，学生总数N 最多为30。

输出 输出每组数据的方案数

样例输入
1
30
5
1 1 1 1 1
3
3 2 1
4
5 3 3 1
5
6 5 4 3 2
2
15 15
0
样例输出
1
1
16
4158
141892608
9694845

分析：
两种做法：
第一种：线性DP，设$f[i][j][k][l][m]$为第一排站i个，第二排站j个……的方案数
如果i$f[i][j][k][l][m]+=f[i-1][j-1][k-1][l-1][m-1]$ 其余同理

代码：

#include
using namespace std;
int k,n[10],a[10];
int main()
{
    while(scanf("%d",&k),k!=0)
    {
        memset(n,0,sizeof(n));
        for(int i=1;i<=k;i++) scanf("%d",&n[i]);
        unsigned f[n[1]+1][n[2]+1][n[3]+1][n[4]+1][n[5]+1];
        memset(f,0,sizeof(f));f[0][0][0][0][0]=1;
        for(a[1]=0; a[1]<=n[1]; a[1]++)
            for(a[2]=0; a[2]<=n[2]; a[2]++)
                for(a[3]=0; a[3]<=n[3]; a[3]++)
                    for(a[4]=0; a[4]<=n[4]; a[4]++)
                        for(a[5]=0; a[5]<=n[5]; a[5]++)
                        {
                            int tmp=f[a[1]][a[2]][a[3]][a[4]][a[5]];
                            if(a[1]<n[1]) f[a[1]+1][a[2]][a[3]][a[4]][a[5]]+=tmp;
                            if(a[2]<n[2] && a[2]<a[1]) f[a[1]][a[2]+1][a[3]][a[4]][a[5]]+=tmp;
                            if(a[3]<n[3] && a[3]<a[2]) f[a[1]][a[2]][a[3]+1][a[4]][a[5]]+=tmp;
                            if(a[4]<n[4] && a[4]<a[3]) f[a[1]][a[2]][a[3]][a[4]+1][a[5]]+=tmp;
                            if(a[5]<n[5] && a[5]<a[4]) f[a[1]][a[2]][a[3]][a[4]][a[5]+1]+=tmp;
                        }
        printf("%u\n",f[n[1]][n[2]][n[3]][n[4]][n[5]]);
    }
    return 0;
}

第二种：杨氏矩阵和勾长公式：
杨氏矩阵又叫杨氏图表，它是这样一个矩阵，满足条件：
(1)如果格子(i,j)没有元素，则它右边和上边的相邻格子也一定没有元素。
(2)如果格子(i,j)有元素$a[i][j]$，则它右边和上边的相邻格子要么没有元素，要么有元素且比$a[i][j]$大。
1 ~ n所组成杨氏矩阵的个数可以通过下面的递推式得到：

如图就是n=3时的杨氏矩阵。

下面介绍一个公式，那就是著名的钩子公式。
对于给定形状，不同的杨氏矩阵的个数为：n！除以每个格子的钩子长度加1的积。其中钩子长度定义为该格子右边的格子数和它上边的格子数之和。

那么这道题就是公式题了

代码:

#include
#define ll long long
using namespace std;
int n;ll a[10],tot=0,hook=1,ans=1;
ll gcd(ll a,ll b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
void get_hook(){
	for(int i=n;i>=1;i--){
		for(int j=1;j<=a[i];j++){
			ll cnt=a[i]-j+1;
			for(int k=n;k>i;k--)
				if(a[k]>=j) cnt++;
			hook*=cnt;ans*=++tot;
			ll gcdd=gcd(ans,hook);
			ans/=gcdd;hook/=gcdd;
		}
	}
}
int main(){
	while(scanf("%d",&n)){
		if(n==0) break;
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
		ans=1,hook=1,tot=0;
		get_hook();
		cout<<ans<<'\n';
	}
	return 0;
}