【Fluent】雷诺方程：推导与求解（附MATLAB代码）

引言

雷诺方程，即湍流的平均运动方程，所属黏性不可压缩流体动力学，从Navier-Stokes方程派生，是经典润滑理论的基本方程之一。

1886年，奥斯本·雷诺兹（Osborne Reynolds）教授发表了一篇论文，催生了润滑理论。他不仅制定了描述润滑膜流动的方程，而且还推导了几种分析解决方案，并将该理论应用于摩擦实验报告中。
在实验中研究了轴承摩擦，发现流体动力压力在接触中心后面急剧上升，润滑剂的效率取决于粘度，速度和轴承尺寸。根据雷诺兹的说法，润滑剂被“拖入”了触点中，形成了一层薄膜，承载了施加在车身上的载荷。他根据简化的Navier-Stokes方程将其思想组合成数学公式。

雷诺方程是一个偏微分方程，描述了两个表面之间润滑薄膜的流动，是润滑流体力学和弹性流体力学理论最重要的应用基础。

雷诺方程在推导过程中做出了一些假设，但近年来，有些假设被放宽了，并推导了各种形式的广义雷诺方程，如（Salant, R. F., et al. (2006). “Numerical Model of a Reciprocating Hydraulic Rod Seal.” Journal of Tribology ）

雷诺方程的推导

该理论的原理源于以下观察结果：

• 润滑剂可被视为等粘度和层流状，而流体膜的曲率可忽略不计。

在以下假定条件下，从Navier-Stokes方程和连续性方程中得出经典的Reynold方程：

• 恒定粘度
• 薄膜润滑
• 可忽略的物体作用力
• 无滑动边界条件

连续性介质假设成立需满足：流体的最小空间尺寸远远大于分子的平均运动自由程。

根据牛顿第二定律公式，所有流体微团的总动量随时间的变化率==所有流体微团所受到的合力。合力包括表面力和体积力。

表面力可分解为法向力和切向力，通常为压力和切向粘性力
体积力作用于流场的每一个流体微团，如重力、电磁力等。

根据上述假设时，有以下方程式：

假定流体不可压缩的，其中第三个是连续性方程式。

前两个方程可以转化为 （假设薄膜几何形状）：

边界条件应适用：

其中，U1 和 U2 代表轴承表面的速度。

代入积分常数，则有以下速度分布：

只有四个未知数的方程。通过第三个连续性方程，可以化简为：

根据流体压力的雷诺方程进行积分：

雷诺方程的解

通常，必须使用诸如有限差分或有限元之类的数值方法来求解雷诺方程。但是，根据边界条件和所考虑的几何形状，可以在某些假设下获得解析解。

对于平面几何上的球体（对于刚体）和稳态的情况，可以假设Sommerfeld（也称为Half-Sommerfeld）空化边界条件，通过解析方法求解二维Reynolds方程。

该解决方案是由诺贝尔奖获得者Kapitza教授提出的。但是，Sommerfeld边界条件不准确，该求解结果智能用作近似值。

对于一维雷诺方程，可以使用几种解析，半解析和近似解。1916年，马丁在假定刚性表面的情况下，获得了圆柱体和平面几何形状的最小薄膜厚度和最小压力的封闭形式解决方案。马丁采用了Swift-Stieber空化边界条件。当表面的弹性变形有助于薄膜厚度时，在高负载（润滑剂中的高压）的情况下，该解决方案并不准确。马丁在高载荷下的实验和理论结果有所不同，导致研究人员得出结论：弹性变形在润滑中起着重要作用。
1949年，格鲁宾在某种程度上简化了弹性流体动力润滑（EHL）线接触问题的解决方案，将弹性变形和流体动力结合在一起。

雷诺方程的推广

通过拓展推导经典形式的假设，派生了各种广义的雷诺方程，以削弱用于推导经典形式的假设，如，可压缩的非牛顿流体。

在摩擦学中，雷诺方程用于预测流体膜厚，以及表面摩擦力。

此外如滑动边界条件，雷诺方程的这种形式用于计算带纹理的表面或具有高滑移的表面的膜厚和摩擦。

有限体积法

最常见的有限元法是二阶至三阶精度，而有限体积法是一阶至二阶精度。

本文以有限体积法为例，求解雷诺方程。

delx=2*180/nx;
dely=2/ny;
P=ones(nx+1,ny+1);
A=ones(nx+1,ny+1);
SP=ones(nx+1,ny+1);
H=ones(nx+1,ny+1);
F=ones(nx+1,ny+1);
for i=1:1:nx+1
    theta=(i-1)*delx*pi/180;
    for j=1:1:ny+1
        H(i,j)=1+e*cos(theta);
    end
end
wucha=1;
error=1e-3;
S=0,T=0;
while(wucha>=error)
    PP=P
    for i=2:ny
        for j=2:ny
            P2(i,j)=P(i,j);
            A(i,j-1)=[0.5*(H(i,j-1)+H(i,j))]^3*(lamta)^2*delx/dely;
            A(i,j+1)=[0.5*(H(i,j+1)+H(i,j))]^3*(lamta)^2*delx/dely;
            A(i+1,j)=[0.5*(H(i,j)+H(i+1,j))]^3*dely/delx;
            A(i-1,j)=[0.5*(H(i,j)+H(i-1,j))]^3*dely/delx;
            SP(i,j)=6*lamta{0.5*(H(i,j)+H(i+1,j))-0.5*(H(i,j)+H(i-1,j))*[1+(1-F(i-1,j))*P(i-1,y)]};
            P(i,j)=(A(i,j-1)*F(i,j-1)*P(i,j-1)+A(i,j+1)*F(i,j+1)*P(i,j+1)+A(i+1,j)*F(i+1,j)*P(i+1,j)+A(i-1,j)*F(i-1,j)*P(i-1,j)+SP(i,j))/A(i,j);
            if P(i,j)>=0
                F(i,j)=1;
            else F(i,j)=0;
            end
        end
    end
    for i=2:nx
        for j=2:ny
            S=S+P(i,j)-PP(i,j)
            T=T+P(i,j);
        end
    end
    wucha=S/T;
    conut=count+1;
end