huntian oy（杜教筛 欧拉函数）

original link - http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6706

题意：

求$f(n,a,b)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{i}gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)[gcd(i,j)=1]\%(10^9+7)$

解析：

由于$a,b$互质，所以有$gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)=i-j$。

$$f(n,a,b)=\sum _{i=1}^{n}i\ast \sum _{j=1}^i[gcd(i,j)=1]-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{i}j[gcd(i,j)=1]$$

$$f(n,a,b)=\sum _{i=1}^{n}i\ast \varphi (i)-\sum _{i=1}^n\frac{i\ast \varphi (i)-[i=1]}{2}$$

$$f(n,a,b)=\frac{{\sum }_{i=1}^{n}i\ast \varphi (i)-1}{2}$$

令$F(n)=i\ast \varphi (i),Ans(n)={\sum }_{i=1}^{n}i\ast \varphi (i),g(i)=i$

可以推得：

$$Ans(n)=\frac{{\sum }_{i=1}^n(F\ast g)(i)-{\sum }_{d=2}^{n}g(d)Ans(n/d)}{g(1)}$$

其中：
$$\sum _{i=1}^n(F\ast g)(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}F(d)\ast g(\frac{i}{d})=\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}i\ast \varphi (d)=\sum _{i=1}^n{i}^2$$

代码：

/*
 *  Author : Jk_Chen
 *    Date : 2019-08-25-15.37.26
 */
#include
using namespace std;
#define LL long long
#define rep(i,a,b) for(int i=(int)(a);i<=(int)(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(int)(a);i>=(int)(b);i--)
#define mmm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pb push_back
#define pill pair
#define fi first
#define se second
#define debug(x) cerr<<#x<<" = "<
const LL mod=1e9+7;
const int maxn=1e6+9;
LL rd(){ LL ans=0; char last=' ',ch=getchar();
    while(!(ch>='0' && ch<='9'))last=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(last=='-')ans=-ans; return ans;
}
/*_________________________________________________________head*/

LL Pow(LL a,LL b,LL mod){
    LL res=1;
    while(b>0){
        if(b&1)res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

int pri[maxn],now,phi[maxn];
bool vis[maxn];

void init(){
    phi[1]=1;
    rep(i,2,maxn-1){
        if(!vis[i]){
            pri[++now]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=now&&pri[j]*i<maxn;j++){
            vis[pri[j]*i]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                phi[pri[j]*i]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            phi[pri[j]*i]=phi[i]*(pri[j]-1);
        }
    }
}

LL Pre[maxn];
LL _2,_6;
unordered_map<int,LL>Map;
LL Ans(LL n){
    if(n<maxn)return Pre[n];
    if(Map.count(n))return Map[n];
    LL res = 1ll*n*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod*_6%mod;
    for(LL l=2,r;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);
        res-=(l+r)*(r-l+1)/2%mod*Ans(n/l)%mod;
    }
    return Map[n]=res%mod;
}

int main(){
    init();
    rep(i,1,maxn-1){
        Pre[i]=(Pre[i-1]+1ll*i*phi[i])%mod;
    }
    int t=rd();
    _2=Pow(2,mod-2,mod);
    _6=Pow(6,mod-2,mod);
    while(t--){
        int n=rd(),a=rd(),b=rd();
        printf("%lld\n",(Ans(n)-1+mod)%mod*_2%mod);
    }
    return 0;
}