青蛙的约会【拓展欧几里得算法】【详细思路以及推导过程】【萌新必会系列】

在上这道题之前，先给大家看个精彩的：

这道玄学的题目，让我整整花费了八个小时去推导以及去了解拓展欧几里得，从一个萌新到真正可以理清自己的思路了。

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

        这是学长挂给我们的一道题，重在让我们理清欧几里得算法的作用以及灵活运用它。

        思路：遇上这道题，我们先列写出方程，我们可以知道：x+m*t-y-n*t=p*L（p为转了几圈）。

很显然，这是一道拓展欧几里得算法，然后我们针对这道题开始讲解什么是欧几里得算法：

        假如存在这样的a*x+b*y=d的线性方程，我们想知道它的通解怎样实现，那么我们就举个例子吧：

        a*x+b*y=d，如果d mod gcd(a, b)==0

        则，a*x1+b*y1=d; b*x2+a%b*y2=d; 整理得b*x2+(a-(a/b)*b)*y2=d;

        于是一一对应前式a、b所对应点有，x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2。

那么，我们由此可以写出拓展欧几里得公式：

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll g=exgcd(b, a%b, x, y);
    ll temp=x;
    x=y;
    y=temp-y*(a/b);
    return g;
}

当然，这是一种四个参数的，还有种五个参数的：

void exgcd(ll a, ll b, ll &d, ll &x, ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    exgcd(b, a%b, d, y, x);
    y-=a/b*x;
}

        现在，我们要做一个判断：方程是否有解？

    拓展欧几里得公式存在，就是指a*x+b*y=d；而d%gcd(a, b)==0，那么假如d%gcd(a, b)！=0，则等式不成立。

判断条件：

if(d%gcd(a, b)!=0) 不存在解。

        寻找结果answer：

        直接输出 exgcd(a, b, &x, &y)中的x？当然是不行的，我们求得的x为其中的一个特解，不一定是最佳的答案，而且还有负值的可能，所以我们要做些处理：

对于一个x数取到0～r中的值，我们可以这么操作：x=((x%r)+r)%r。

那么容我证明一下这个r的取值：

        a*x0+b*y0=d; 又假设还存在这样的x1、y1：a*x1+b*y1=d;

        则，a*(x1-x0)=b*(y0-y1); a/gcd(a, b)*(x1-x0)=b/gcd(a, b)*(y0-y1)；

a/gcd(a, b)与b/gcd(a, b)互质，则（x1-x0）与b/gcd(a, b)成正比，（y0-y1）与a/gcd(a, b)成正比。

所以能得到：x=x0+K*b/gcd(a, b)其中K为一切整数，y=y0+K*a/gcd(a, b)其中K为一切整数。

那么，对于x而言，r=b/gcd(a, b)。

ll want(ll x0, ll r0)
{
    return ((x0%r0)+r0)%r0;
}

捋通了思路之后，我们就可以知道了：我们对于公式：（n-m）*t+L*P=x-y；分别将他们看作线性方程的a,b,x,y，即可求得正解。

完整代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b)
{
    if(b==0)return a;
    return gcd(b, a%b);
}
ll x,y,m,n,L;
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll g=exgcd(b, a%b, x, y);
    ll temp=x;
    x=y;
    y=temp-y*(a/b);
    return g;
}
ll want(ll x0, ll r0)
{
    return ((x0%r0)+r0)%r0;
}
int main()
{
    while(scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF)
    {
        ll t,p;
        ll a1,b1,d1;
        d1=x-y;
        b1=L;
        a1=n-m;
        ll k=gcd(a1, b1);
        if(d1%k!=0)
        {
            printf("Impossible\n");
            continue;
        }
        exgcd(a1, b1, t, p);
        ll r=b1/gcd(a1, b1);
        printf("%lld\n",want(t*d1/k, r));
    }
    return 0;
}