网络安全数论基础（1）欧几里得算法

一、先介绍一下整除性和带余除法

整除性

设a、b、m均为整数，若存在某个m使得a=mb成立，则称非零数b整除a。换言之，若b除a没有余数，则认为b整除a。b除a通常用b|a，我们说b是a的一个因子。
注：被除数÷除数=商。a除以b即a÷b。a÷b也可以说b除a。

一些简单的整数整除性质

（1）a|1，则a=±1
（2）若a|b且b|a，则a=±b
（3）任何不等于零的数整除0
（4）若a|b且b|c，则a|c
（5）对任意整数m，n，若b|g且b|h，则可得出b|（mg+nh）
（6）若b|g，则存在g₁，使得g可以表示为g=bg₁
若b|h，则存在h₁，使得h可以表示为h=bh₁
所以mg+nh=mbg₁+nbh₁=b*（mg₁+nh₁），得出b整除mg+nh
（下面证明欧几里得会用到）

带余除法

对给定的任意一个正整数n和任意非负整数a，若用n除a，得到整数商q和整数余数r，则满足以下关系式。
a=qn+r，0≤r 注：对于任意给定的任意a和正数n，总可以找到满足上述关系的q和r。在数轴上表示数时，a一定会落在轴上的某处。余数r通常称为剩余数。

二、欧几里得算法

欧几里得算法可以简单的求出两个正整数的最大公因子。
注：一个简单的定义：两个整数是互素的，当且仅当它们只有一个正整数公因子1。在看完下面的内容后，其实就是gcd(a,b)=1。

最大公因子

对于整数a，b，m，若满足a=mb，则称非零整数b是a的一个因子。我们用gcd（a，b）来表示a和b的最大公因子。a和b的最大公因子是能同时整除a和b的最大整数。另外，定义gcd（0，0）=0。
更正式的描述是，正整数c称为a和b的最大公因子，如果：
（1）c是a和b的因子
（2）a、b的因子都是c的因子
另一个等效的定义是：gcd(a,b)=max{k,满足k|a且k|b}
注1：因为要求最大公因子必须是正数，所以有gcd(a,b)=gcd(-a,-b)=gcd(-a,b)=gcd(a,-b)=gcd(|a|,|b|)
注2：因为0可以被所有非零整数整除，所以gcd(a,0)=|a|

求最大公因子

欧几里得算法利用了gcd(a,b)=gcd(b,r).其中a÷b=q……r。那么，当r=0时，gcd(b,0)=|b|就求出了最大公因子。
那么，我们先举出两个例子，然后再来证明，为什么gcd(a,b)=gcd(b,r).
例1：求9和12的最大公因子
gcd(a,b)=gcd(b,r) 9÷12=0……9 gcd(9,12)=gcd(12,9)
gcd(a,b)=gcd(b,r) 12÷9=1……3 gcd(12,9)=gcd(9,3)
gcd(a,b)=gcd(b,r) 9÷3=0……0 gcd(9,3)=gcd(3,0)
而gcd(3,0)=3 所以9和12的最大公因子是3
例2:这次我们来算大一点的数，求1314和520的最大公因子
1314÷520=2…274 gcd(1314,520)=gcd(520,274)
520÷274=1……246 gcd(520,274)=gcd(274,246)
274÷246=1……28 gcd(274,246)=gcd(246,28)
246÷28=8……22 gcd(246,28)=gcd(28,22)
28÷22=1……6 gcd(28,22)=gcd(22,6)
22÷6=3……4 gcd(22,6)=gcd(6,4)
6÷4=1……2 gcd(6,4)=gcd(4,2)
4÷2=2……0 gcd(4,2)=gcd(2,0)
而gcd(2,0)=2 所以1314和520的最大公因子是2

gcd(a,b)=gcd(b,r)的证明

1）我们要求整数a和b的最大公因子d；因为上文我们说gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)且ab的顺序并不影响,所以我们不妨设a≧b>0
2）使用带余除法，易得b|a可以表示为：a=q₁b+r₁， 0≦r₁ 3)1.若r₁=0，那么gcd(a,b)=gcd(b,r₁)=gcd(b,0)=|b|=b
2.若r₁≠0，d|r₁（因为d|a且d|b，所以d|a-q₁b，即d|r₁）
不妨设b和r₁的任意公因子为c，易得c|q₁b+r₁，即c|a，又c|b，所以c是a和b的公因子，又因为d是a和b的最大公因子，所以c≦d，所以d是b和r₁的最大公因子得证，即gcd(a,b)=gcd(b,r)

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