等概率随机排列数组（洗牌算法）

又是一道跟概率相关的简单问题。话说我的概率学的太差了，趁这个机会也从头开始补习一下。

问题描述：假设有一个数组，包含n个元素。现在要重新排列这些元素，要求每个元素被放到任何一个位置的概率都相等（即1/n），并且直接在数组上重排（in place），不要生成新的数组。用 O(n) 时间、O(1) 辅助空间。

算法是非常简单了，当然在给出算法的同时，我们也要证明概率满足题目要求。

先想想如果可以开辟另外一块长度为n的辅助空间时该怎么处理，显然只要对n个元素做n次（不放回的）随机抽取就可以了。先从n个元素中任选一个，放入新空间的第一个位置，然后再从剩下的n-1个元素中任选一个，放入第二个位置，依此类推。

按照同样的方法，但这次不开辟新的存储空间。第一次被选中的元素就要放入这个数组的第一个位置，但这个位置原来已经有别的（也可能就是这个）元素了，这时候只要把原来的元素跟被选中的元素互换一下就可以了。很容易就避免了辅助空间。

用Python来写一段简单的程序描述这个算法：

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from  random  import Random def Shuffle (li ):   rand  = Random ( )    for x  in  xrange ( len (li ) -  1 ,  0 , - 1 ):   # 逆序遍历li     y  = rand. randint ( 0 , x )               # 从剩余数据中随机选取一个     li [x ] , li [y ]  = li [y ] , li [x ]          # 将随机选取的元素与当前位置元素互换

主要的代码仅仅三行而已，浅显易懂。

来计算一下概率。如果某个元素被放入第i（1≤i≤n）个位置，就必须是在前 i - 1 次选取中都没有选到它，并且第 i 次选取是恰好选中它。其概率为：

pi=n−1n×n−2n−1×⋯×n−i+1n−i+2×1n−i+1=1n

可见任何元素出现在任何位置的概率都是相等的。

实际上Python用户一定知道，在Random类中就有现成的shuffle方法，处理方法与我上面的程序是一样的。顺便也贴在这里学习一下。以下代码来自于 Python 2.5 Lib\random.py：

250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262

def shuffle ( self , x ,  random = None ,  int = int ):    """x, random=random.random -> shuffle list x in place; return None.   Optional arg random is a 0-argument function returning a random   float in [0.0, 1.0); by default, the standard random.random.   """    if  random  is  None:      random  =  self. random    for i  in  reversed ( xrange ( 1 ,  len (x ) ) ):      # pick an element in x[:i+1] with which to exchange x[i]     j  =  int ( random ( ) *  (i+ 1 ) )     x [i ] , x [j ]  = x [j ] , x [i ]