HDU 5528 狄利克雷卷积

题目链接

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题意：
给定$T(\le 2e4)$组数据，每组数据给出一个整数$n(n\le 1e9)$，求：

$$Ans=\sum _{m|n}\sum _{i=0}^{m-1}\sum _{i=0}^{m-1}[(i\ast j)\%m>0]$$

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思路：
正难则反
转化公式为：
$$Ans=\sum _{m|n}(m^2-\sum _{i=0}^{m-1}\sum _{i=0}^{m-1}[(i\ast j)\%m=0])$$
令
$$F[n]=\sum _{i=0}^{m-1}\sum _{i=0}^{m-1}[(i\ast j)\%m=0]$$
则
$$Ans=\sum _{m|n}{m}^2-F[m]$$

通过打表可以发现，$F$为积性函数
故：
$$G[n]=\sum _{m|n}F[m]=\sum _{m|n}F[m]\ast I[n/m]$$
两个积性函数的狄利克雷卷积仍为积性函数

故：
$$当n=\prod _{i=1}^t{p}_i^{k_i}$$
有：
$$G[n]=\prod _{i=1}^{t}G[p_i^{k_i}]=\prod _{i=1}^t\sum _{j=0}^{k_i}F(p_i^j)$$

故G[n]通过分解质因数可以高效求解
前面的约数平方和因为也是积性函数，同理可求。

以上。

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代码：

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;

const int A = 1e5 + 10;
int pri[A], tot;
bool vis[A];

void Init(){
    tot = 0;
    for (int i = 2; i < A; i++) {
        if (!vis[i]) pri[++tot] = i;
        for (int j = 1; j <= tot && i * pri[j] < A; j++) {
            vis[i * pri[j]] = 1;
            if (i % pri[j] == 0) break;
        }
    }
}

ull fast_pow(ull n, int m){
    ull res = 1;
    while(m){
        if (m&1) res *= n;
        n = n * n;
        m >>= 1;
    }
    return res;
}

ull Fun1(int p, int r){
    return fast_pow(p, 2*r);
}

ull Fun2(ull p, ull r){
    if (r == 0) return 1;
    ull now = fast_pow(p, r - 1);
    return (now*p*(r+1) - r*now);
}

ull calc(int n){
    ull res1 = 1, res2 = 1;
    for (int i = 1; i <= tot && pri[i] * pri[i] <= n; i++) {
        if (n % pri[i] == 0) {
            int cnt = 0;
            while (n % pri[i] == 0) {
                n /= pri[i];
                cnt++;
            }
            ull tem1 = 0, tem2 = 0;
            for (int j = 0; j <= cnt; j++) {
                tem1 += Fun1(pri[i], j);
                tem2 += Fun2(pri[i], j);
            }
            res1 *= tem1;
            res2 *= tem2;
        }
    }
    if (n > 1) {
        res1 *= Fun1(n, 0) + Fun1(n, 1);
        res2 *= Fun2(n, 0) + Fun2(n, 1);
    }
    return (res1 - res2);
}

int main(){
    Init();
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int T; cin >> T;
    while (T--) {
        int n; cin >> n;
        cout << calc(n) << endl;
    }
    return 0;
}