扩展的欧几里德算法

扩展欧几里得算法
对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然
存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

简介扩展欧几里得算法
扩展欧几里得算法的功能就更强大了，它可以用来求二元一次方程的通解，还可以用来求乘法逆元。
在此顺便简介一下乘法逆元：
若有 a*x ≡ 1 （mod m），则称 x 为a关于m的乘法逆元，等价式 a * x+m * y = 1
这就也是个二元一次方程了，ExGcd可搞。

引理
裴蜀定理：若ax+by = z，则 gcd（a，b）| z
再顺手证明一下裴蜀定理：
设k = gcd（a，b），则 k | a， k | b，根据整除的性质，有 k | （ax+by）
设 s为ax+by的最小正数值
再设 q = [a / s]（a整除s的值）；r = a mod s = a-q（ax+by） = a（1 - qx）+b（-qy）；
由此可见r也为a，b的线性组合；（ax+by称为a，b的线性组合）
又因为s为a，b的线性组合的最小正数值，0<= r < s，所以r的值为0，即 a mod s = r =0；s | a；
同理可得 s | b，则 s | k；
又因为 k | （ax+by），s为ax+by的最小正数值，所以 k | s；
因为 s | k，k | s，所以s = k；
原命题得证。

算法实现
我们依旧递归实现，因为上一次的x，y与下一次的x，y的值有关，所以我们从x=1，y=0（此时b=0）的情况开始递归上来，套公式就好了。（a，b下去，x，y上来）
伪代码：

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r;
}

求解 x，y的方法的理解
设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
*（a mod b = a - [a / b]b；[a / b]代表a整除b）
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
由引理我们知道：ax+by = z，z为gcd（a，b）若干倍，所以我们先求解ax+by = gcd（a，b），再将求出的解乘以 z/gcd（a，b）就好了。
java 实现代码如下：

public static long[] extend_gcd(long a,long b){
	    long ans;
	    long[] result=new long[3];
	    if(b==0)
	    {
	    	result[0]=a;
	    	result[1]=1;
	    	result[2]=0;
	        return result;
	    }
	    long [] temp=extend_gcd(b,a%b);
	    ans = temp[0];
	    result[0]=ans;
	    result[1]=temp[2];
    	result[2]=temp[1]-(a/b)*temp[2];
	    return result;
	}

---

返回的数组中，第一个值是最大公约数，第二个值表示C++语言实现中的x，第三个值表示y。

原文：https://blog.csdn.net/zs064811/article/details/55000930
原文：https://blog.csdn.net/leader_one/article/details/75222771