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卡特兰数公式推导

卡特兰数最常见的描述就是2n个球进站出站有多少种顺序

推导：折线法，问题转化为从 (0,0)到(2n,0) 每次可以向右上或者右下走一波，问在不越过 y=0 这条线的情况下，有多少种走法。

卡特兰数公式推导_第1张图片

所以可以根据总数减去非法数

总数很明显是 cn2n

非法数可以这样算。如果这个过程非法，这条线一定会碰到 y=−1 这样我们可以取折线第一次喷到直线 y=−1 的点。然后的折线对 y=−1 做对称，这样所有的点最终都会汇聚到 (2n,−2) 这样总数就有 Cn−12n

所以最终结果就是 cn2n−Cn−12n

化简后很容易得到
cn2nn+1

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