程序员面试金典 - 面试题 17.24. 最大子矩阵（转成一维最大子序和 DP）

1. 题目

给定一个正整数和负整数组成的 N × M 矩阵，编写代码找出元素总和最大的子矩阵。

返回一个数组 [r1, c1, r2, c2]，其中 r1, c1 分别代表子矩阵左上角的行号和列号，r2, c2 分别代表右下角的行号和列号。
若有多个满足条件的子矩阵，返回任意一个均可。

示例:
输入:
[
   [-1,0],
   [0,-1]
]
输出: [0,1,0,1]

说明：
1 <= matrix.length, matrix[0].length <= 200

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/max-submatrix-lcci
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2. 解题

类似题目： LeetCode 363. 矩形区域不超过 K 的最大数值和（DP+set二分）

2.1 前缀和（超时）

• 求出每个位置与(0,0)构成的子矩阵的和
• 4层 for 循环遍历左上角为（x,y），右下角为（i，j）的子矩阵
• 其和为 $sum=prefixsum[i][j]-prefixsum[x-1][j]-prefixsum[i][y-1]+prefixsum[x-1][y-1]$
• 复杂度 $O(m^2{n}^2)$，通过14/25个测试

class Solution {
public:
    vector<int> getMaxMatrix(vector<vector<int>>& matrix) {
    	int m = matrix.size(), n = matrix[0].size(), i, j, x, y;
    	int sum, maxSum = INT_MIN;
    	vector<vector<int>> prefixsum(matrix);
    	for(i = 0; i < m; ++i)
    	{
    		for(j = 0; j < n; ++j)
    		{
    			if(i > 0)
    				prefixsum[i][j] += prefixsum[i-1][j];
    			if(j > 0)
    				prefixsum[i][j] += prefixsum[i][j-1];
    			if(i>0 && j>0)
    				prefixsum[i][j] -= prefixsum[i-1][j-1];
                // cout << prefixsum[i][j] << " ";
    		}
            // cout << endl;
    	}
    	vector<int> ans(4);
    	for(i = 0; i < m; i++)
    	{
    		for(j = 0; j < n; ++j)
    		{
    			for(x = 0; x <= i; x++)
    			{
    				for(y = 0; y <= j; y++)
    				{
    					sum = prefixsum[i][j];
    					if(x > 0)
    						sum -= prefixsum[x-1][j];
    					if(y > 0)
    						sum -= prefixsum[i][y-1];
    					if(x > 0 && y > 0)
    						sum += prefixsum[x-1][y-1];
    					if(sum > maxSum)
    					{
    						maxSum = sum;
    						ans[0] = x, ans[1] = y;
    						ans[2] = i, ans[3] = j;
    					}
    				}
    			}
    		}
    	}
    	return ans;
    }
};

2.2 动态规划

类似题目：
LeetCode 152. 乘积最大子序列（DP）
本题参考：LeetCode 53. 最大子序和（动态规划），本质一样。

• 2层for循环先把所有可能的行组合找出来
• 然后列向求和，压扁它
• 对这个压扁的一维数组求最大子序和即可
• 时间复杂度 $O(m^{2}n)$

class Solution {
public:
    vector<int> getMaxMatrix(vector<vector<int>>& matrix) {
    	int m = matrix.size(), n = matrix[0].size(), i, j, k, l, r;
    	int sum, maxSum = INT_MIN;
    	vector<int> sumRi_Rj(n);//【i，j】行的列向和
    	vector<int> ans(4);
    	for(i = 0; i < m; ++i)
    	{
    		sumRi_Rj.clear();
    		sumRi_Rj.resize(n,0);
    		for(j = i; j < m; ++j)
    		{
    			for(k = 0; k < n; ++k)
    			{
    				sumRi_Rj[k] += matrix[j][k];//列向和
    			}
    			//一维dp，初始化
    			sum = sumRi_Rj[0];
    			l = r = 0;
                if(sum > maxSum)
                {
                    maxSum = sum;
                    ans[0] = i, ans[1] = l;
                    ans[2] = j, ans[3] = r;
                }
    			for(k = 1; k < n; ++k)
    			{   //转为一维数组sumRi_Rj最大子数组和
    				if(sum > 0)
    				{
    					sum += sumRi_Rj[k];
    					r = k;
    				}
    				else
    				{
    					sum = sumRi_Rj[k];
    					l = r = k;
    				}
    				if(sum > maxSum)
    				{
    					maxSum = sum;
    					ans[0] = i, ans[1] = l;
    					ans[2] = j, ans[3] = r;
    				}
    			}
    		}
    	}
    	return ans;
    }
};

384 ms 12.7 MB