辗转相除法（欧几里得算法）和扩展欧几里得算法

辗转相除法（欧几里得算法）和扩展欧几里得算法

辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数(gcd)的一种方法，也叫欧几里德算法。

例如，求（319，377）：

∵ 319÷377=0（余319）

∴（319，377）=（377，319）；

∵ 377÷319=1（余58）

∴（377，319）=（319，58）；

∵ 319÷58=5（余29）

∴ （319，58）=（58，29）；

∵ 58÷29=2（余0）

∴ （58，29）= 29；

∴ （319，377）=29。

所以当我们要求（a,b）的最大公约数时==（a,b）相当于（b,a%b）==

用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。

#include 

int func(int a,int b) {
    if(b == 0) return a;
    return func(b, a%b);
}

int main() {
    int a,b;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    printf("%d", func(a,b));
}

扩展欧几里得算法

要求ax+by=1 的解注意： a，b，x，y都是整数

推导可知：当a和b的最大公约数等于1时x，y才有解

推导过程 ：假设gcd(a,b)=c且c!=1可知a=nc,b=mc那么ax+by=1可以变成c(xn+ym)=1那么x和y没有解

扩展欧几里得算法：如果ax+by=gcd(a,b)(gcd(a,b)是a和b的最大公约数)输入任意a，b求x，y的值(a,b,x,y都为整数)

#include
int ex_gcd(int a,int b,int &x, int &y) {
    if(!b){
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    int xx,yy, ret = ex_gcd(b, a % b,xx, yy);
    x = yy;                               
    y = xx - a / b *yy;
    return ret;
}

int main() {
    int a, b, x, y;
    while (~scanf("%d%d",&a, &b)) {
        ex_gcd(a,b,x,y);
        printf("%d * %d + %d * %d = %d\n",a,x,b,y,a * x +b * y);
    }
    
}

扩展欧几里得算法主要运用了递归的算法，在递归算法中我们要考虑的是什么时候是程序终止的条件，本层与下一层的关系式，以及要知道返回的是哪一层的值

可以参考：

https://blog.csdn.net/destiny1507/article/details/81750874

https://blog.csdn.net/qmdweb/article/details/80537602