$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$
从前有一个叫Petya的神仙，嫌自己的序列求max太慢了，于是将序列求max的代码改成了下面这个样子：
int fast_max(int n,int a[])
{
int ans=0;
int offset=0;
for(int i=0;i这个函数的原理是，如果碰到一个数后面连续的\(k\)个数都比它小，那么就把这个数当做序列的最大值。
然而很显然，这份代码是错的。这位\(Petya\)神仙对它出错的情况很感兴趣。于是他找到了同为神仙的你，让你求有多少长度为\(n\)的排列，这个函数会返回错误的结果，即返回值不是\(n\)。由于答案过大，你只需要输出这个数对\(10^9+7\)取模的结果。
\(\color{#0066ff}{输入格式}\)
一行两个正整数\(n\)和\(k\)，表示排列的长度和上面那份代码里的\(k\)。
\(\color{#0066ff}{输出格式}\)
一行一个整数，表示答案对\(10^9+7\) 取模后的值。
\(\color{#0066ff}{输入样例}\)
5 2
5 3
6 3\(\color{#0066ff}{输出样例}\)
22
6
84\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)
Permutations from second example:
\([4,1,2,3,5]\) , $[4,1,3,2,5] $, \([4,2,1,3,5] ,\) $[4,2,3,1,5] $, $[4,3,1,2,5] $, \([4,3,2,1,5]\) .
\(\color{#0066ff}{题解}\)
如果正着算，比如 4 2 1 6 5 3，k=2，那么会出现两个符合条件的，但是我们只算一次，所以这样不好算
我们考虑单步容斥，用总数\(n!\)减去最大值是n的
考虑排列中n的位置，那么n前面的数不能出现题目所说的情况
于是我们设\(f[i]\)为长度为i的排列，不会出现一个数后面有k个比它小的数的方案数
还是考虑i的位置来转移，因为i是最大的，所以显然转移为\(f_i=\sum_{j=i-k+1}^if_{j-1}\C_{i-1}^{i-j}*(i-j)!=(i-1)!*\sum_{j=i-k}^{i-1}\frac{f_j}{j!}\)
显然后面的东西可以前缀和优化一下，于是我们可以\(O(n)\)求出f数组！
然后开始统计答案，枚举n的位置i\(ans=\sum_{i=1}^nf_{i-1}*\C_{n-1}^{n-i}*(n-i)!=(n-1)!*\sum_{i=1}^n\frac{f_{i-1}}{(i-1)!}\)
直接线性统计答案即可
#include
#define LL long long
LL in() {
char ch; LL x = 0, f = 1;
while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
return x * f;
}
const int maxn = 5e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, k;
LL fac[maxn], inv[maxn];
LL f[maxn], s[maxn];
LL ksm(LL x, LL y) {
LL re = 1LL;
while(y) {
if(y & 1) re = re * x % mod;
x = x * x % mod;
y >>= 1;
}
return re;
}
int main() {
n = in(), k = in();
fac[0] = 1;
for(LL i = 1; i <= n; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
inv[n] = ksm(fac[n], mod - 2);
for(LL i = n - 1; i >= 0; i--) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
f[0] = s[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
f[i] = (fac[i - 1] * (s[i - 1] - (i - k - 1 >= 0? s[i - k - 1] : 0) + mod)) % mod;
s[i] = (f[i] * inv[i] % mod + s[i - 1]) % mod;
}
LL ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) (ans += fac[n - 1] * f[i - 1] % mod * inv[i - 1] % mod) %= mod;
printf("%lld", (fac[n] - ans + mod) % mod);
return 0;
}