大臣的旅费

原题链接

思路分析:树的直径
根据在走第$x$千米到第$x+1$千米这一千米中（$x$是整数）这句话，很容易推导出这是一个等差数列。根据求和公式就可以得到若走$x$千米，则旅费满足$\frac{(21+x)\ast x}{2}$。由题意可知，所求路径为树的直径，利用树形$dp$求得树的直径，代入公式求解即可。
求解方法和证明过程可以参考这里。

$Code:$

注意$ans=max(ans,dp[x]+dp[j]+tree[i].cost)$与
$dp[x]=max(dp[x],dp[j]+tree[i].cost)$不能调换位置，首先要明确$dp[x]$的含义是以$x$为根，所能到达最远的节点的距离，且设根节点$x$有左节点$u$与右节点$v$且$u\to x\to v$为树的直径，所以在运行到$ans=max(ans,dp[x]+dp[j]+tree[i].cost)$时，$dp[x]$仅仅代表$u\to x$这一部分，缺少直径中的$x\to v$。运行结束后，跟新$dp[x]$的值。如果先运行$dp[x]=max(dp[x],dp[j]+tree[i].cost)$，会造成直径的计算错误。

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include 
using namespace std;
#define MaxN 100010
//#define MOD 998244353
#define PI acos(-1.0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define endl '\n'
#define LL long long
#define PII pair
#define rint register int 
#define ULL unsigned long long
const int MOD=1e9+7;
//int days[13]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
//int dir[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}};
template<class T> inline void read(T& x){
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while( !isdigit(ch) ) f|=( ch == '-' ) , ch=getchar();
    while( isdigit(ch) )  x = ( x<<1 ) + ( x<<3 ) + ( ch^48 ) , ch=getchar();
    x = f ? -x : x;
}
template<class T> inline void print(T x){
    if ( x < 0 ) { putchar('-'); x = -x; }
    if ( x >= 10 ) print( x / 10 );
    putchar(x % 10 + '0');
}
struct Node{
    int to,cost,Next;
}tree[MaxN*2];
int head[MaxN*2],dp[MaxN],cnt,ans=-INF;
bool flag[MaxN];
void Add(int u,int v,int w){
    tree[cnt].to=v;
    tree[cnt].cost=w;
    tree[cnt].Next=head[u];
    head[u]=cnt++;
}
void Dfs(int x){
    flag[x]=true;
    for(int i=head[x]; ~i; i=tree[i].Next){
        int j=tree[i].to;
        if( !flag[j] ){
            Dfs(j);
            ans=max(ans,dp[x]+dp[j]+tree[i].cost);
            dp[x]=max(dp[x],dp[j]+tree[i].cost);
        }
    }
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1; i<n; i++){
        int u,v,w;
        cin>>u>>v>>w;
        Add(u,v,w);
        Add(v,u,w);
    }
    Dfs(1);
    cout<<1ll*(21+ans)*ans/2<<endl;
    return 0; 
}