学习笔记：扩展欧几里得算法（持续更新）

欧几里得算法

著名的辗转相除法，用于求a,b的最大公因数（greatest common divisor）
代码如下：

LL gcd(LL a,LL b)
{
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}

时间复杂度：是按照斐波那契数列增长的，但是可以看作O(logn)，且实际情况更好

扩展欧几里得算法

由裴蜀定理可知： ax+by=gcd(a,b) a x + b y = g c d ( a , b ) 肯定存在一组解（x，y）使得等式成立，为了找出这个解就用了扩展欧几里得算法。

证明如下：

我们现在要求:p*a+q*b=gcd(a,b)中的p,q

gcd(a,b)=p0*b+q0*a%b//这一步是递归过程，我们得到了这里的p0,q0
        =p0*b+q0*(a-a/b*b)//a%b的另一种形式
        =q0*a+(p0-q0*a/b)*b
 对应一下可得:
 p=q0;
 q=p0-q0*q/b;

直接翻译成代码如下：

LL gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL xx,yy;
    LL ret=gcd(b,a%b,xx,yy);
    x=yy;
    y=xx-a/b*yy;
    return ret;
}

精简版的代码是这样的。

LL gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL d=gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}

时间复杂度：同欧几里得算法