最短路floyd与dijkstra浅析

为了备战noip,又将图论的基础知识拿出来练了练。
因为本文主要对象为初级选手，已简单易懂为宗旨，高级大犇不要喷。。靴靴。。。
首先，

floyd算法：此算法是最短路最朴素的办法，用记忆化搜索的思想，枚举起步点（i），转折点(k),终点（j）,三重循环，完成最短路，时间复杂度为o(n^3)。因为方法较为暴力，所以编程复杂度较低。下面贴上程序段

for (i=1;i<=n;++i)//起点 
 for (j=1;j<=n;++j)//终点 
 if (i!=j)//起点与终点不能重复 
  for (k=1;k<=n;++k)//转折点 
  if (i!=k&&j!=k){//点之间不能重复 
    f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j])//判断for循环构造出的路径是否更优 
  }

注意for循环之前要将f数组初始化为maxint（f[i][j]下标i==j的话初始化为0）；
读程序后，大家也许会发现，floyd似乎不止求出了起点到终点的最短路，而是任意两点之间的最短路，如果仅仅为了求两点之间的最短路就显得过于臃肿。下面我们介绍另一种最短路算法“dijkstra算法”。

dijkstra算法：我个人理解为floyd的一种优化版，运用一个dis数组存放起点到其余任意一个点的已知（就是已经算出来的，不是最后结果）最短路长度。省去了枚举开头着个部分（这就是dijkstra只求两点之间的最短路的原因了）确定了起点，这样就只需要枚举转折点和终点了。大家仔细想想，dis中存放起点到任意一个点的当前距离，其中最短dis[i]的一定是正确的起点到i点的最短路径。因为最短，所以没有经过其他的点（或没有经历过其他的点的i已全部做完，当前点i也一定是最短路径），这样我们找n-1次(第一个不需要找，因为是起点)最小的dis[i]（每次不能重复，用一个book数组记录，没找过为0，找过为1），在枚举一个1~n的j，这样起点到j的距离就为min(dis[j],dis[i]+map[i][j]);因为只枚举起点与终点，所以时间复杂度为o(n^2);主代码如下：

for (i=1;i<=n;++i){
    dis[i]=map[1][i];//初始化dis数组，dis[i]为1到i的当前最短距离 
    book[i]=0;//初始化book数组 
}
book[1]=1;//起点不要枚举 
for (i=1;i<=n-1;++i){
    for (j=1;j>=n;++j){//查找最小dis值 
        if (minj>dis[j] && book[j]==0){
            minj=dis[j];
            u=j;
        }
    }
    book[u]=1;
    for (j=1;j<=n;++j){
        if (dis[j]>dis[u]+map[u][j]){
            dis[j]=dis[u]+map[u][j];//替换更优的解 
        }
    }
}

基本的思路就是这样，当然，学习是永无止境的，比如说dijkstra还有许多的优化方法，如：把邻接矩阵改为邻接表，又比如把查找最小dis值的过程用堆（优先队列）实现，感兴趣的同学可以继续关注我下一篇博客，靴靴~~~~