如初⁰
如初⁰

数据结构笔记——最小生成树

写在前面：科班出身，应届考研党，愿21考研成功上岸，冲冲冲！

目录

知识总览

一、生成树

二、广度优先生成树

三、深度优先生成树

四、最小生成树（最小代价树）

五、Prim算法（普里姆）

六、Kruskal算法（克鲁斯卡尔）

七、Prim算法 vs Kruskal算法

八、Prim算法的实现思想

九、Kruskal算法的实现思想

十、总结

知识总览

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一、生成树

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。（边尽可能的少，但要保持连通）

若图中顶点树为n，则它的生成树含有n-1条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。

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二、广度优先生成树

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三、深度优先生成树

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四、最小生成树（最小代价树）

道路规划要求：所有地方都连通，且成本尽可能的低

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对于一个带权连通无向图G=（V，E），生成树不同，每棵树的权（即树中所有边上的权值之和）也可能不同。设R为G的所有生成树的集合，若T为R中边的权值之和最小的生成树，则T成为G的最小生成树。

注

①最小生成树可能有多个，但边的权值之和总是唯一且最小的。

②最小生成树的边数= 顶点树- 1。砍掉一条则不连通，增加一条边则会出现回路。

③如果一个连通图本身就是一棵树，则其最小生成树就是它本身

④只有连通图才有生成树，非连通图只有生成森林

五、Prim算法（普里姆）

从某一个顶点开始构建生成树；每次将代价最小的新顶点纳入生成树，知道所有顶点的纳入为止。

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六、Kruskal算法（克鲁斯卡尔）

每次选择一条权值最小的边，使这条边的两头连通（原本已经连通的就不选），直到所有结点都连通

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七、Prim算法 vs Kruskal算法

Prim：

从某一个顶点开始构建生成树；每次将代价最小的新顶点纳入生成树，知道所有顶点的纳入为止。

时间复杂度：O（|V|^2），适合用于边稠密图

Kruskal：

每次选择一条权值最小的边，使这条边的两头连通（原本已经连通的就不选），直到所有结点都连通

时间复杂度：O（|E|log2|E|）适合用于边稀疏图

八、Prim算法的实现思想

初始：从V0开始

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第1轮：循环遍历所有个结点，找到lowCost最低的，且还没加入树的顶点

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再次循环遍历，更新还没加入的各个顶点的lowCost值

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第2轮：循环遍历所有个结点，找到lowCost最低的，且还没加入树的顶点

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第3轮：循环遍历所有个结点，找到lowCost最低的，且还没加入树的顶点

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第4轮：循环遍历所有个结点，找到lowCost最低的，且还没加入树的顶点

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第5轮：循环遍历所有个结点，找到lowCost最低的，且还没加入树的顶点

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九、Kruskal算法的实现思想

初始：将各条边按权值排序

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第1轮：检查第1条边的两个顶点是否连通（是否属于同一个集合），不连通，连起来

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第2轮：检查第2条边的两个顶点是否连通（是否属于同一个集合）

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第3轮：检查第3条边的两个顶点是否连通（是否属于同一个集合）

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第4轮：检查第4条边的两个顶点是否连通（是否属于同一个集合）

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第5轮：检查第5条边的两个顶点是否连通（是否属于同一个集合），已连通，跳过

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第6轮：检查第6条边的两个顶点是否连通（是否属于同一个集合）

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十、总结

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