跳表SkipList的原理和实现

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为什么选择跳表

目前经常使用的平衡数据结构有：B树，红黑树，AVL树，Splay Tree, Treep等。

 

想象一下，给你一张草稿纸，一只笔，一个编辑器，你能立即实现一颗红黑树，或者AVL树

出来吗？ 很难吧，这需要时间，要考虑很多细节，要参考一堆算法与数据结构之类的树，

还要参考网上的代码，相当麻烦。

 

用跳表吧，跳表是一种随机化的数据结构，目前开源软件 Redis 和 LevelDB 都有用到它，

它的效率和红黑树以及 AVL 树不相上下，但跳表的原理相当简单，只要你能熟练操作链表，

就能轻松实现一个 SkipList。

 

有序表的搜索

考虑一个有序表：

 

从该有序表中搜索元素 < 23, 43, 59 > ，需要比较的次数分别为 < 2, 4, 6 >，总共比较的次数

为 2 + 4 + 6 = 12 次。有没有优化的算法吗?  链表是有序的，但不能使用二分查找。类似二叉

搜索树，我们把一些节点提取出来，作为索引。得到如下结构：

 这里我们把 < 14, 34, 50, 72 > 提取出来作为一级索引，这样搜索的时候就可以减少比较次数了。

 我们还可以再从一级索引提取一些元素出来，作为二级索引，变成如下结构：

 

  

 

     这里元素不多，体现不出优势，如果元素足够多，这种索引结构就能体现出优势来了。

 

跳表

下面的结构是就是跳表：

 其中 -1 表示 INT_MIN， 链表的最小值，1 表示 INT_MAX，链表的最大值。

 

 

跳表具有如下性质：

(1) 由很多层结构组成

(2) 每一层都是一个有序的链表

(3) 最底层(Level 1)的链表包含所有元素

(4) 如果一个元素出现在 Level i 的链表中，则它在 Level i 之下的链表也都会出现。

(5) 每个节点包含两个指针，一个指向同一链表中的下一个元素，一个指向下面一层的元素。

 

跳表的搜索

 

例子：查找元素 117

(1) 比较 21， 比 21 大，往后面找

(2) 比较 37,   比 37大，比链表最大值小，从 37 的下面一层开始找

(3) 比较 71,  比 71 大，比链表最大值小，从 71 的下面一层开始找

(4) 比较 85， 比 85 大，从后面找

(5) 比较 117， 等于 117， 找到了节点。

 

具体的搜索算法如下： 

 

C代码   

1. /* 如果存在 x, 返回 x 所在的节点， 
2.  * 否则返回 x 的后继节点 */  
3. find(x)   
4. {  
5.     p = top;  
6.     while (1) {  
7.         while (p->next->key < x)  
8.             p = p->next;  
9.         if (p->down == NULL)   
10.             return p->next;  
11.         p = p->down;  
12.     }  
13. }  

 

 

跳表的插入

先确定该元素要占据的层数 K（采用丢硬币的方式，这完全是随机的）

然后在 Level 1 ... Level K 各个层的链表都插入元素。

例子：插入 119， K = 2

 

如果 K 大于链表的层数，则要添加新的层。

例子：插入 119， K = 4

丢硬币决定 K

插入元素的时候，元素所占有的层数完全是随机的，通过一下随机算法产生：

 

C代码   

1. int random_level()  
2. {  
3.     K = 1;  
4.   
5.     while (random(0,1))  
6.         K++;  
7.   
8.     return K;  
9. }  

 

相当与做一次丢硬币的实验，如果遇到正面，继续丢，遇到反面，则停止，

用实验中丢硬币的次数 K 作为元素占有的层数。显然随机变量 K 满足参数为 p = 1/2 的几何分布，

K 的期望值 E[K] = 1/p = 2. 就是说，各个元素的层数，期望值是 2 层。

 

 

跳表的高度。

n 个元素的跳表，每个元素插入的时候都要做一次实验，用来决定元素占据的层数 K，

跳表的高度等于这 n 次实验中产生的最大 K，待续。。。

 

跳表的空间复杂度分析

根据上面的分析，每个元素的期望高度为 2， 一个大小为 n 的跳表，其节点数目的

期望值是 2n。

 

跳表的删除

在各个层中找到包含 x 的节点，使用标准的 delete from list 方法删除该节点。

例子：删除 71

 

 

 

下面是完整的skipSet的实现，有详细的注释。

 

 

 

1. /** 
2.  *  跳表节点数据存储结构 
3.  */  
4. class SkipNodeextends Comparablesuper E>> {  
5.     public final E value; //节点存储的数据  
6.     public final SkipNode[] forward; //节点的指针数组  
7.       
8.     /** 
9.      * 根据节点的层级构造一个节点 
10.      * @param level 节点层级 
11.      * @param value 节点存储值 
12.      */  
13.     @SuppressWarnings("unchecked")  
14.     public SkipNode(int level, E value) {  
15.         forward = new SkipNode[level + 1];//level层的元素后面带着level+1的指针数组  
16.         this.value = value;  
17.     }  
18.   
19. }  
20.   
21. public class SkipSetextends Comparablesuper E>> {  
22.       
23.     /** 
24.      * 概率因子，实验证明p=1/e比p=0.5要好，e是个神奇的数字！ 
25.      */  
26. //  public static final double P = 0.5;  
27.     public static final double P = 1/Math.E;  
28.     /** 
29.      *  最大层级 
30.      */  
31.     public static final int MAX_LEVEL = 6;  
32.       
33.     /** 
34.      * 开始节点，不存值，贯穿所有层 
35.      */  
36.     public final SkipNode header = new SkipNode(MAX_LEVEL, null);  
37.     /** 
38.      * 当前跳表的最高层级 
39.      */  
40.     public int level = 0;  
41.       
42.     /** 
43.      * 插入一个元素 
44.      * @param value 待插入值 
45.      */  
46.     @SuppressWarnings("unchecked")  
47.     public void insert(E value) {  
48.         SkipNode x = header;  
49.         SkipNode[] update = new SkipNode[MAX_LEVEL + 1];  
50.         //查找元素的位置，这里其实做了一次contain操作，注释见contain  
51.         for (int i = level; i >= 0; i--) {  
52.             while (x.forward[i] != null  
53.                     && x.forward[i].value.compareTo(value) < 0) {  
54.                 x = x.forward[i];  
55.             }  
56.             //update[i]是比value小的数里面最大的，是value的前置节点  
57.             update[i] = x;  
58.         }  
59.         x = x.forward[0];  
60.   
61.         //此处不允许插入相同元素，为一个set  
62.         if (x == null || !x.value.equals(value)) {//跳表中不包含所要插的元素  
63.             //随机产生插入的层级  
64.             int lvl = randomLevel();  
65.             //产生的随机层级比当前跳表的最高层级大，需要添加相应的层级，并更新最高层级  
66.             if (lvl > level) {  
67.                 for (int i = level + 1; i <= lvl; i++) {  
68.                     update[i] = header;  
69.                 }  
70.                 level = lvl;  
71.             }  
72.               
73.             //生成新节点  
74.             x = new SkipNode(lvl, value);  
75.             //调整节点的指针，和指向它的指针  
76.             for (int i = 0; i <= lvl; i++) {  
77.                 x.forward[i] = update[i].forward[i];  
78.                 update[i].forward[i] = x;  
79.             }  
80.   
81.         }  
82.     }  
83.     /** 
84.      * 删除一个元素 
85.      * @param value 待删除值 
86.      */  
87.     @SuppressWarnings("unchecked")  
88.     public void delete(E value) {  
89.         SkipNode x = header;  
90.         SkipNode[] update = new SkipNode[MAX_LEVEL + 1];  
91.         //查找元素的位置，这里其实做了一次contain操作，注释见contain  
92.         for (int i = level; i >= 0; i--) {  
93.             while (x.forward[i] != null  
94.                     && x.forward[i].value.compareTo(value) < 0) {  
95.                 x = x.forward[i];  
96.             }  
97.             update[i] = x;  
98.         }  
99.         x = x.forward[0];  
100.         //删除元素，调整指针  
101.         if (x.value.equals(value)) {  
102.             for (int i = 0; i <= level; i++) {  
103.                 if (update[i].forward[i] != x)  
104.                     break;  
105.                 update[i].forward[i] = x.forward[i];  
106.             }  
107.             //如果元素为本层最后一个元素，则删除同时降低当前层级  
108.             while (level > 0 && header.forward[level] == null) {  
109.                 level--;  
110.             }  
111.   
112.         }  
113.     }  
114.     /** 
115.      * 查找是否包含此元素 
116.      * @param searchValue 带查找值 
117.      * @return true：包含；false:不包含 
118.      */  
119.     public boolean contains(E searchValue) {  
120.         SkipNode x = header;  
121.         //从开始节点的最高层级开始查找  
122.         for (int i = level; i >= 0; i--) {  
123.             //当到达本层级的NULL节点或者遇到比查找值大的节点时，转到下一层级查找  
124.             while (x.forward[i] != null  
125.                     && x.forward[i].value.compareTo(searchValue) < 0) {  
126.                 x = x.forward[i];  
127.             }  
128.         }  
129.         x = x.forward[0];  
130.         //此时x有三种可能，1.x=null,2.x.value=searchValue,3.x.value>searchValue  
131.         return x != null && x.value.equals(searchValue);  
132.     }  
133.     /** 
134.      * 这里是跳表的精髓所在，通过随机概率来判断节点的层级 
135.      * @return 节点的层级 
136.      */  
137.     public static int randomLevel() {  
138.         int lvl = (int) (Math.log(1. - Math.random()) / Math.log(1. - P));  
139.         return Math.min(lvl, MAX_LEVEL);  
140.     }  
141.   
142.     /** 
143.      * 输出跳表的所有元素 
144.      * 遍历最底层的元素即可 
145.      */  
146.     public String toString() {  
147.         StringBuilder sb = new StringBuilder();  
148.         sb.append("{");  
149.         SkipNode x = header.forward[0];  
150.         while (x != null) {  
151.             sb.append(x.value);  
152.             x = x.forward[0];  
153.             if (x != null)  
154.                 sb.append(",");  
155.         }  
156.         sb.append("}");  
157.         return sb.toString();  
158.     }  
159. }