数据结构笔记——二叉排序树

目录

一、二叉排序树的定义

二、二叉排序树的查找

三、二叉树的插入

四、二叉排序树的构造

五、二叉排序树的删除

六、查找效率分析

七、总结

一、二叉排序树的定义

二叉排序树，又称二叉查找树（BST），一棵二叉树或者是空二叉树，或者是具有如下性质的二叉树：

左子树上所有结点的关键字均小于根节点的关键字；

右子树上所有结点的关键字均大于根节点的关键字。

左子树和右子树又各是一棵二叉排序树。

注：

①左子树结点值<根结点值<右子树结点值。

②进行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列。

二、二叉排序树的查找

若树非空，目标值与根节点的值比较：

若相等，则查找成功；

若小于根节点，则在左子树上查找，否则在右子树上查找。

查找成功，返回结点指针；查找失败返回NULL

非递归实现，最坏空间复杂度O(1)

typedef struct BSTNode{
    int key;
    struct BSTNode *lchild,rchild;
}BSTNode,*BSTree;

BSTNode *BST_Search(BSTree T,int key){
    while(T != NULL && key != T->key){
        if( key < T->key)
            T = T->lchild;
        else
            T = T->rchild;
    }
    return T;
}

递归实现，最坏空间复杂度O(h)

BSTNode *BSTSearch(BSTree T,int key){
    if(T == NULL)
        return NULL;
    if(key == T->key)
        return T;
    else if(key < T->key)
        return BSTSearch(T->lchild,key);
    else
        return BSTSearch(T->rchild,key);
}

三、二叉树的插入

若原二叉排序树为空，则直接插入结点；否则，若关键字k小于根节点值，则插入到左子树，若关键字k大于根结点值，则插入到右子

int BST_Insert(BSTree &T,int k){
    if(T == NULL){
        T = (BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
        T->key = k;
        T->lchild = T->rchild = NULL;
        return 1;
    }
    else if(k == T->key)
        return 0;
    else if(k < T->key)
        return BST_Insert(T->lchild,k);
    else
        return BST_Insert(T->rchild,k);
}

四、二叉排序树的构造

void Creat_BST(BSTree &T,int str[],int n){
    T = NULL;
    int i = 0;
    while(i < n){
        BST_Insert(T,str[i]);
        i++;
    }
}

例1：按照序列str=[50,66,60,26,21,30,70,68]建立BST

例2：按照序列str=[50,26,21,30,66,60,70,68]建立BST

注：不同的关键字序列可能得到同款二叉排序树

例3：按照序列str=[26,21,30,50,60,66,68,70]建立BST

五、二叉排序树的删除

先搜索找到目标结点：

①若被删除结点z是叶子结点，则直接删除，不会破坏二叉排序树的性质。

②若结点z只有一颗左子树或右子树，则让z的子树称为z父结点的子树，替代z的位置

③若结点z有左、右两棵子树，则令z的直接后继（或直接前驱）替代z，然后从二叉排序树中删去这个直接后继（或直接前驱）

六、查找效率分析

查找长度——在查找运算中，需要对比关键字的次数称为查找长度，反映了查找操作时间复杂度

注：

①若树高h，找到最下层的一个结点需要对比h次

②最好情况：n个结点的二叉树最小高度为[log2n] + 1，平均查找长度 = O(log2n)

③最坏情况：每个结点只有一个分支，树高h = 结点数n，平均查找长度 = O(n)

查找成功的平均查找长度ASL

①ASL = （1*1 + 2*2 + 3*4 + 4*1） / 8 = 2.625

②ASL = （1*1 + 2*2 + 3*1 + 4*1 + 5*1 + 6*1 + 7*1） / 8 = 3.75

平衡二叉树：树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1。

注：n个结点的二叉树最小高度为[log2n] + 1（完全二叉树），而平衡二叉树高度与完全二叉树同等数量级

查找失败的平均查找长度ASL

①ASL=(3*7 + 4*2) / 9 = 3.22

②ASL=(2*3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7*2) / 9 = 4.22

七、总结